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: Determine o conjunto solução da seguinte equação exponencial : [tex] 5^{x-2} + 5^{x+1} = 126[/tex]

Sagot :

rikardoa
[tex]5^{x-2} + 5^{x+1} = 126[/tex]

Como [tex]0=1-1[/tex]

[tex]5^{x-2+0} + 5^{x+1} = 125+1[/tex]

[tex]5^{x-2+1-1}+5^{x+1}=5^3+5^0[/tex]

Como [tex]0=3-3[/tex]

[tex]5^{x+1-3}+5^{x+1}=5^3+5^{3-3}[/tex]

[tex]5^-3.5^{x+1}+1.5^{x+1}=5^3+5^-3.5^3[/tex]

[tex]5^{x+1}.(5^-3+1)=5^3.(1+5^-3)[/tex]

[tex]5^{x+1}.(5^-3+1)=5^3.(5^-3+1)[/tex]

[tex]5^{x+1}=\frac{5^3.(5^-3+1)}{(5^-3+1)}[/tex]

[tex]5^{x+1}=\frac{5^3.1}{1}[/tex]

[tex]5^{x+1}=5^3[/tex]

Como temos as bases iguais igualamos os expoentes. Assim:

[tex]x+1=3[/tex]

[tex]x=3-1[/tex]

[tex]x=2[/tex]

Logo a solução da equação é [tex]x=2[/tex].
[tex]5^{x-2}+5^{x+1}=126\\\\5^x\cdot5^{-2}+5^x\cdot5^1=126\\\\\frac{5^x}{5^2}+5\cdot5^x=126[/tex]

 Consideremos [tex]5^x=k[/tex], segue,

[tex]\frac{k}{25}+5k=126\\\\k+125k=126\cdot25\\\\126k=126\cdot25\;\;\div(126\\\\k=1\cdot25\\\\\boxed{k=25}[/tex]

 Por conseguinte,

[tex]5^x=k\\\\5^x=25\\\\5^x=5^2\\\\\boxed{\boxed{x=2}}[/tex]
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