O negócio está em encontrar o valor de [tex]\int{lnx}dx[/tex]. Isso é o mesmo que [tex]\int{1.lnx}dx[/tex]. Agora podemos usar a regra da cadeia, fazendo f(x) = lnx e g'(x) = 1.
[tex]\int{f(x).g'(x)}dx = f(x).g(x) - \int{f'(x).g(x)}dx[/tex]
[tex]\int{1.lnx}dx = x.lnx - \int{\frac{1}{x}.x}dx = x.lnx - \int{1}dx[/tex]
[tex]\boxed{\int{lnx}dx = x(lnx - 1)}[/tex]
A área procurada está delimitada pelas curvas y=lnx, y=0 (o eixo x) e x=2. Quando se colocam essas três curvas no papel fica fácil ver que essa área é igual a [tex]\int\limits^2_1{lnx}dx[/tex]. Daí temos:
[tex]\int\limits^2_1{lnx}dx = 2(ln2 - 1) - 1(ln1 -1) = 2.ln2 - 2 + 1[/tex]
[tex]\boxed{\boxed{\int\limits^2_1{lnx}dx = ln4 - 1}}[/tex],
que é a área procurada.
