Como esses são termos de uma PG temos o seguinte:
[tex]\frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3} = q[/tex],
onde q é a razão da PG. Tomando as duas últimas frações pra encontrar o valor de x temos:
[tex]\frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3} \Rightarrow \frac{5x-14}{x-2} = \frac{4x + 2}{5x - 14} \Rightarrow 25x^2 - 140x + 196 = 4x^2 - 6x - 4[/tex]
[tex]21x^2 - 134x + 200 = 0[/tex]
[tex]\Delta = (-134)^2 - 4.21.200 \Rightarrow \Delta = 1156[/tex]
[tex]x = \frac{-(-134) \pm \sqrt{\Delta}}{2.21} = \frac{134 \pm 34}{42}[/tex]
[tex]x = 4 \ ou \ x = \frac{50}{21}[/tex]
Agora é encontrar o valor de q. Como temos dois possíveis valores de x teremos dois possíveis valores para q e, então, para [tex]a_1[/tex]:
I) x = 50/21
Nesse caso temos que [tex]a_2 = x-2 = \frac{8}{21}[/tex] e [tex]a_3 = 5x-14 = \frac{-44}{21}[/tex]
[tex]q = \frac{a_3}{a_2} = \frac{-44/21}{8/21} = \frac{-44}{8}[/tex]
[tex]\underline{q = \frac{-11}{2}}[/tex]
[tex]\frac{a_2}{a_1} = q \Rightarrow a_1 = \frac{a_2}{q} = \frac{8/21}{-11/2}[/tex]
[tex] a_1 = \frac{-8.2}{11.21}[/tex]
[tex]\boxed{\boxed{a_1 = \frac{-16}{231}}}[/tex]
II) x=4
Nesse caso temos [tex]a_2 = 2 \ e \ a_3 = 5x-14 = 6[/tex]
[tex]q = \frac{a_3}{a_2} = \frac{6}{2} \\ \underline{q = 3}[/tex]
[tex]\frac{a_2}{a_1} = q \Rightarrow a_1 = \frac{a_2}{q}[/tex]
[tex]\boxed{\boxed{a_1 = \frac{2}{3}}}[/tex]
