Obtenha as melhores soluções para suas perguntas no Sistersinspirit.ca, a plataforma de Q&A de confiança. Junte-se à nossa plataforma para conectar-se com especialistas prontos para fornecer respostas detalhadas para suas perguntas em diversas áreas. Descubra soluções confiáveis para suas perguntas de uma vasta rede de especialistas em nossa abrangente plataforma de perguntas e respostas.

Qual a soma dos 54 primeiros termos de uma PA onde a soma dos 3 primeiros é 24 e o produto destes termos é 312?

Sagot :

Niiya
[tex]a_{1} + a_{2} + a_{3} = 24[/tex]
[tex]a_{1} + (a_{1} + r) + (a_{1} + 2r) = 24[/tex]
[tex]3a_{1} + 3r = 24[/tex]
[tex]3(a_{1} + r) = 24[/tex]
[tex]a_{1} + r = 24 / 3[/tex]
[tex]a_{1} + r = 8[/tex]
[tex]a_{2} = 8[/tex]

[tex]a_{1} + r = 8[/tex]
[tex]a_{1} = 8 - r[/tex]

[tex]a_{1}*a_{2}*a_{3}=312[/tex]
[tex]a_{1}*8*a_{3}=312[/tex]
[tex]a_{1}*a_{3}=312/8[/tex]
[tex]a_{1}*(a_{1} + 2r) = 39[/tex]
[tex](8 - r)(8 - r + 2r) = 39[/tex]
[tex](8 - r)(8 + r) = 39[/tex]
[tex]8^{2} - r^{2} = 39[/tex]
[tex]64 - 39 = r^{2}[/tex]
[tex]25 = r^{2}[/tex]
[tex] \sqrt{25} = r[/tex]
[tex]r =5[/tex]

[tex]a_{1} = 8 - r[/tex]
[tex]a_{1} = 8 - 5[/tex]
[tex]a_{1} = 3[/tex]
_______________________________

[tex]a_{54} = a_{1} + 53r[/tex]
[tex]a_{54} = 3 + 53*5[/tex]
[tex]a_{54} = 3 + 265[/tex]
[tex]a_{54} = 268[/tex]

[tex]S_{n} = (a_{1} + a_{n})*n/2[/tex]
[tex]S_{54} = (a_{1} + a_{54})*54/2[/tex]
[tex]S_{54} = (3 + 268)*27[/tex]
[tex]S_{54} = 271*27[/tex]
[tex]S_{54} = 7317[/tex]
NOTA: Existem duas fórmulas pro cálculo da soma dos n primeiros termos de uma PA. São elas:
1- [tex]S_n = n.a_1 + \frac{r.n.(n-1)}{2}[/tex]
2- [tex]S_n = \frac{n.(a_1 + a_n)}{2}[/tex]
Vou usar, nessa questão, a fórmula número 1. Acho mais prática (mesmo sendo maior :P)

Pela definição de PA temos que:

[tex]a_{2}= a_{1} + r[/tex], que pode ser reescrito como [tex]a_{1}= a_{2}-r[/tex], e [tex]a_{3} = a_{2}+r[/tex].

A soma dos três primeiros termos vale, então:

[tex]a_1 + a_2 + a_3 = 24[/tex]
[tex]a_2-r + a_2 + a_2+r = 24[/tex]
[tex]3.a_2 = 24[/tex]
[tex]a_2 = 8[/tex]

Agora que temos o segundo termo podemos encontrar a razão:

[tex]a_1.a_2.a_3 = 312[/tex]
[tex](a_2-r).8.(a_2+r) = 312[/tex]
[tex](8-r)(8+r) = 39[/tex]
[tex]64-r^2=39[/tex]
[tex]r^2 = 64-39 = 25[/tex]
[tex]r = \pm 5[/tex]

Agora que temos o valor de r podemos encontrar o valor do primeiro termo. Como temos dois valores possíveis pra razão teremos dois valores possíveis pro [tex]a_1[/tex] e, portanto, pra soma dos 54 termos:

I) r=5
[tex]a_1 = a_2 - r = 8-5[/tex]
[tex]a_1 = 3[/tex]

Então a soma dos 54 termos vale:
[tex]S_{54} = 54.3 + \frac{5.54.53}{2}[/tex]
[tex]S_{54} = 162 + 7155[/tex]
[tex]\boxed{S_{54} = 7317}[/tex]

II) r= -5
[tex]a_1 = a_2 - r = 8-(-5) = 8+5[/tex]
[tex]a_1 = 13[/tex]

Então a soma dos 54 termos vale:
[tex]S_{54} = 54.13 + \frac{-5.54.53}{2}[/tex]
[tex]S_{54} = 702 - 7155[/tex]
[tex]\boxed{S_{54} = -6453}[/tex]