NOTA: Existem duas fórmulas pro cálculo da soma dos n primeiros termos de uma PA. São elas:
1- [tex]S_n = n.a_1 + \frac{r.n.(n-1)}{2}[/tex]
2- [tex]S_n = \frac{n.(a_1 + a_n)}{2}[/tex]
Vou usar, nessa questão, a fórmula número 1. Acho mais prática (mesmo sendo maior :P)
Pela definição de PA temos que:
[tex]a_{2}= a_{1} + r[/tex], que pode ser reescrito como [tex]a_{1}= a_{2}-r[/tex], e [tex]a_{3} = a_{2}+r[/tex].
A soma dos três primeiros termos vale, então:
[tex]a_1 + a_2 + a_3 = 24[/tex]
[tex]a_2-r + a_2 + a_2+r = 24[/tex]
[tex]3.a_2 = 24[/tex]
[tex]a_2 = 8[/tex]
Agora que temos o segundo termo podemos encontrar a razão:
[tex]a_1.a_2.a_3 = 312[/tex]
[tex](a_2-r).8.(a_2+r) = 312[/tex]
[tex](8-r)(8+r) = 39[/tex]
[tex]64-r^2=39[/tex]
[tex]r^2 = 64-39 = 25[/tex]
[tex]r = \pm 5[/tex]
Agora
que temos o valor de r podemos encontrar o valor do primeiro termo.
Como temos dois valores possíveis pra razão teremos dois valores
possíveis pro [tex]a_1[/tex] e, portanto, pra soma dos 54 termos:
I) r=5
[tex]a_1 = a_2 - r = 8-5[/tex]
[tex]a_1 = 3[/tex]
Então a soma dos 54 termos vale:
[tex]S_{54} = 54.3 + \frac{5.54.53}{2}[/tex]
[tex]S_{54} = 162 + 7155[/tex]
[tex]\boxed{S_{54} = 7317}[/tex]
II) r= -5
[tex]a_1 = a_2 - r = 8-(-5) = 8+5[/tex]
[tex]a_1 = 13[/tex]
Então a soma dos 54 termos vale:
[tex]S_{54} = 54.13 + \frac{-5.54.53}{2}[/tex]
[tex]S_{54} = 702 - 7155[/tex]
[tex]\boxed{S_{54} = -6453}[/tex]
