EXPONENCIAL
Equações Exponenciais
1° tipo:
[tex]3 ^{ x+2}=27 ^{ \frac{x}{4} } [/tex]
Fatorando 27, temos:
[tex]3 ^{x+2}=(3 ^{3}) ^{ \frac{x}{4} } [/tex]
[tex]3 ^{x+2}=3 ^{ \frac{3x}{4} } [/tex]
Eliminando as bases podemos trabalhar com os expoentes:
[tex]x+2= \frac{3x}{4} [/tex]
[tex]4(x+2)=3x[/tex]
[tex]4x+8=3x[/tex]
[tex]8=3x-4x[/tex]
[tex]-x=8[/tex]
[tex]x=-8[/tex]
2° tipo
[tex]2 ^{x+1}+2 ^{x}-7*2 ^{x-2}=40 [/tex]
Aplicando as propriedades da potenciação, vem:
[tex]2 ^{x}*2 ^{1}+2 ^{x}-7*2 ^{x}*2 ^{-2}=40 [/tex]
Utilizando uma variável auxiliar, [tex]2 ^{x}=y [/tex], vem:
[tex]y*2+y-7*y* \frac{1}{4}=40 [/tex]
[tex]2y+y-7y* \frac{1}{4}=40 [/tex]
[tex]3y- \frac{7}{4}y=40 [/tex]
[tex]4*3y-7y=40*4[/tex]
[tex]12y-7y=160[/tex]
[tex]5y=160[/tex]
[tex]y=160/5[/tex]
[tex]y=32[/tex]
Retomando a variável original, vem:
[tex]2 ^{x}=y [/tex]
[tex]2 ^{x} =32[/tex]
[tex]2 ^{x}=2 ^{5} [/tex]
[tex]x=5[/tex]
3° tipo:
[tex]4(3 ^{x}-3 ^{3-x})=24 [/tex]
[tex]3 ^{x}-3 ^{3-x}= \frac{24}{4} [/tex]
[tex]3 ^{x}-3 ^{3-x}=6 [/tex]
Aplicando as propriedades da potenciação, vem:
[tex]3 ^{x}- \frac{3 ^{3} }{3 ^{x} }=6 [/tex]
Utilizando uma variável auxiliar, [tex]3 ^{x}=p [/tex], temos:
[tex]p- \frac{27}{p}=6 [/tex]
[tex]p ^{2}-27=6p [/tex]
[tex]p ^{2}-6p-27=0 [/tex]
Resolvendo esta equação do 2° grau obtemos as raízes p'=9 e p"= -3
Retornando à variável original, vem:
[tex]3 ^{x}=p [/tex] [tex]3 ^{x}=p [/tex]
[tex]3 ^{x}=9 [/tex] [tex]3 ^{x}=-3 [/tex] não serve
[tex]3 ^{x}=3 ^{2} [/tex]
[tex]x=2[/tex]
Portanto x=2
