O polígono que não possui diagonais é o triângulo; O que possui duas diagonais é o quadrado; O que possui o número de diagonais igual ao número de lados é o pentágono; O que possui o número de diagonais igual ao quádruplo do número de lados é o undecágono.
O número de diagonais de um polígono com n lados é definido pela fórmula [tex]\boxed{d=\frac{n(n-3)}{2}}[/tex].
O polígono que não possui diagonais é o triângulo. Veja que ao substituirmos n por 3 na fórmula acima, obteremos d = 0.
Se o polígono possui duas diagonais, então:
4 = n(n - 3)
4 = n² - 3n
n² - 3n - 4 = 0.
Resolvendo a equação do segundo grau pela fórmula de Bhaskara:
Δ = (-3)² - 4.1.(-4)
Δ = 9 + 16
Δ = 25
[tex]n=\frac{3+-\sqrt{25}}{2}[/tex]
[tex]n'=\frac{3+5}{2}=4[/tex]
[tex]n''=\frac{3-5}{2}=-1[/tex].
Como um polígono não pode ter uma quantidade de lados negativa, então podemos concluir que o polígono é um quadrado.
Para o número de lados ser igual ao número de diagonais, temos que:
2n = n(n - 3)
2n = n² - 3n
n² - 5n = 0
n(n - 5) = 0
n = 0 ou n = 5.
Ou seja, o pentágono é o polígono.
O polígono que possui o número de diagonais igual ao quádruplo do número de lados é o undecágono, pois:
2.4n = n(n - 3)
8n = n² - 3n
n² - 11n = 0
n(n - 11) = 0
n = 0 ou n = 11.
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