[tex]P.G(a_{1},a_{2},a_{3})[/tex]
[tex]a_{1} + a_{2} + a_{3} = 105[/tex]
[tex]a_{1} + (a_{1}*q) + (a_{1}*q^{2})=105[/tex]
Colocando a1 em evidência:
[tex]a_{1}(1 + q + q^{2}) = 105[/tex]
__________
[tex]a_{1}*a_{2}*a_{3}=27000[/tex]
[tex]a_{1}*(a_{1}*q)*(a_{1}*q^{2})=27*1000[/tex]
[tex]a_{1}*a_{1}*q*a_{1}*q^{2} = 3^{3}*10^{3}[/tex]
[tex](a_{1})^{3}*q^{3}=(3*10)^{3}[/tex]
[tex](a_{1})^{3}*q^{3}=30^{3}[/tex]
Aplicando raiz cúbica em todos os membros da equação:
[tex] \sqrt[3]{(a_{1})^{3}}* \sqrt[3]{q^{3}} = \sqrt[3]{30^{3}} [/tex]
[tex]a_{1}*q = 30[/tex]
__________
[tex] \left \{ {{a_{1}(1 + q + q^{2}) = 105} \atop {a_{1}*q = 30}} \right. [/tex]
Dividindo uma pela outra:
[tex]a_{1}(1+q+q^{2})/(a_{1}*q) = 105/30[/tex]
[tex](1+q+q^{2})/q = 7/2[/tex]
[tex]2*(1+q+q^{2})=7*q[/tex]
[tex]2 + 2q + 2q^{2} = 7q[/tex]
[tex]2q^{2} + 2q - 7q + 2 = 0[/tex]
[tex]2q^{2} - 5q + 2 = 0[/tex]
[tex]D = b^{2} - 4*a*c[/tex]
[tex]D = (-5)^{2}-4*2*2[/tex]
[tex]D = 25 - 16[/tex]
[tex]D = 9[/tex]
[tex]q = (- b +- \sqrt{D})/(2a)[/tex]
[tex]q = (-(-5) +- \sqrt{9})/(2*2)[/tex]
[tex]q = (5 +- 3) / 4[/tex]
[tex]q' = (5 + 3) / 4[/tex]
[tex]q' = 8/4[/tex]
[tex]q' = 2[/tex]
No caso, só uma razão já basta, pois a outra (q'') seria o inverso de q (q'' = 1/2), o que resultaria em uma P.G com os mesmos números, mas invertida. Como o que importa são os números e não a ordem deles, vamos considerar q = 2
[tex]a_{1}*q=30[/tex]
[tex]a_{1}*2=30[/tex]
[tex]a_{1}=30/2[/tex]
[tex]a_{1}=15[/tex]
[tex]a_{1} = 15[/tex]
[tex]a_{2} = a_{1}*q = 30[/tex]
[tex]a_{3} = a_{2}*q => 30*2 => 60[/tex]
