Dizemos que uma sequência numérica constitui uma progressão geométrica quando, a partir do 2º termo, o quociente entre um elemento e seu antecessor for sempre igual. Observe a sequência:
(2, 4, 8, 16, 32, 64,...), dizemos que ela é uma progressão geométrica, pois se encaixa na definição dada.
4 : 2 = 2
8 : 4 = 2
16 : 8 = 2
32 : 16 = 2
64 : 32 = 2
O termo constante da progressão geométrica é denominado razão.
Muitas situações envolvendo sequências são consideradas PG, dessa forma, foi elaborada uma expressão capaz de determinar qualquer elemento de uma progressão geométrica. Veja:
Com base nessa expressão, temos que:
a2 = a1 * q
a3 = a1 * q2
a5 = a1 * q4
a10 = a1 * q9
a50 = a1*q49
a100 = a1*q99
Exemplo 1
Em uma progressão geométrica, temos que o 1º termo equivale a 4 e a razão igual a 3. Determine o 8º termo dessa PG.
a8 = 4 * 37
a8 = 4 * 2187
a8 = 8748
O 8º termo da PG descrita é o número 8748.
Exemplo 2
Dada a PG (3, 9, 27, 81, ...), determine o 20º termo.
a20 = 3 * 319
a20 = 3 * 1.162.261.467
a20 = 3.486.784.401
Soma dos termos de uma PG
A soma dos termos de uma PG é calculada através da seguinte expressão matemática:
Exemplo 3
Considerando os dados do exemplo 2, determine a soma dos 20 primeiros elementos dessa PG.
Exemplo 4
Uma dona de casa registrou os gastos mensais com supermercado durante todo o ano. Os valores foram os seguintes:
Janeiro: 98,00
Fevereiro: 99,96
Março: 101,96
Abril: 104,00
Maio: 106,08
Calcule o gasto anual dessa dona de casa, considerando que em todos os meses o índice inflacionário foi constante.
Os termos estão em progressão geométrica, observe:
106,08 : 104 = 1,02
104 : 101,96 = 1,02
101,96 : 99,96 = 1,02
99,96 : 98,00 = 1,02
A razão dessa progressão geométrica é dada por 1,02, isto indica que a inflação entre os meses é de 2%. Vamos determinar a soma dos gastos dessa dona de casa, observe:
Os gastos da dona de casa com compras de supermercado, foram equivalentes a
R$ 1.314,39.
