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Sagot :
Sabemos que para formarmos um triângulo devemos ter 3 pontos distintos (diferentes).
Se temos uma reta com 3 pontos e considerarmos inicialmente que nela vamos ter 2 vértices (pontos) do triângulo, logo na outra terá somente um ponto para cada triângulo formado. Se ligarmos todos os ponto da reta s em um único ponto da reta r podemos formar 2 triângulos menores (onde os vértices da base de cada triângulo formado é composto por pontos adjacentes) mais 1 triângulo maior (onde os vértices da base do triângulo formado é composto pelos pontos mais afastados). Logo, para cada ponto na reta r teremos 3 triângulos. Logo teremos 3n triângulos com a base na reta s.
Outra forma de deduzir isto é considerarmos que a quantidade de formas diferentes que podemos usar estes 3 pontos, usando 2 por vez é uma combinação, assim:
[tex]C_{a,b}= \frac{a!}{b!(a-b)!} [/tex]
[tex]C_{3,2}= \frac{3!}{2!(3-2)!} [/tex]
[tex]C_{3,2}= \frac{3!}{2!1!} [/tex]
[tex]C_{3,2}= \frac{3.2!}{2!1} [/tex]
[tex]C_{3,2}= \frac{3.1}{1.1} [/tex]
[tex]C_{3,2}= 3 [/tex]
Logo, podemos combinar de 3 formas diferentes os 3 pontos 2 a 2.
Sabendo isso para formar o triângulo usaremos um ponto na reta que tem n pontos. Então formaremos [tex]3n[/tex] triângulos. Veja que ainda não sabemos quantos pontos temos, pois temos que encontra o números menor possível para n.
Prosseguindo, agora vamos fazer o contrário para formar os triângulos. Vamos usar a reta r para a base do triângulo (2 ponto por triângulo). Então para cada triângulo formado usaremos 2 pontos de r e um ponto de s. Sabendo disto, para cada 2 pontos de r podemos formar 3 triângulos (um para cada ponto da reta s). Logo, para saber quanto triângulo podemos formar com n ponto 2 a 2 devemos fazer um combinação e multiplicar por 3, assim:
[tex]C_{a,b}= \frac{a!}{b!(a-b)!} [/tex]
[tex]C_{n,2}= \frac{n!}{2!(n-2)!} [/tex]
[tex]C_{n,2}= \frac{n(n-1)(n-2)!}{2!(n-2)!} [/tex]
[tex]C_{n,2}= \frac{n(n-1).1}{2!.1} [/tex]
[tex]C_{n,2}= \frac{n(n-1)}{2} [/tex]
[tex]C_{n,2}= \frac{n^2-n}{2} [/tex]
Sabemos que temos 30 triângulos diferentes então fazemos a soma dos possibilidades analisadas e igualamos a 30. Assim:
[tex]C_{3,2}.n+3.C_{n,2}=30[/tex]
[tex]3.n+3.\frac{n^2-n}{2}=30[/tex]
[tex]3n+\frac{3n^2-3n}{2}=30[/tex]
[tex]\frac{2.3n+3n^2-3n}{2}=30[/tex]
[tex]\frac{6n+3n^2-3n}{2}=30[/tex]
[tex]\frac{3n^2+3n}{2}=30[/tex]
[tex]3(n^2+n)=2.30[/tex]
[tex]n^2+n=\frac{2.30}{3}[/tex]
[tex]n^2+n=\frac{2.10}{1}[/tex]
[tex]n^2+n=20[/tex]
[tex]n^2+n-20=0[/tex]
Agora basta resolver esta equação utilizando a fórmula de Báskara. Assim:
[tex]n=\frac{-b\pm \sqrt{Delta}}{2a}[/tex]
Onde
[tex]Delta=b^2-4ac[/tex]
[tex]Delta=1^2-4.1.(-20)[/tex]
[tex]Delta=1+80[/tex]
[tex]Delta=81[/tex]
Substituindo o valor de [tex]Delta[/tex], teremos
[tex]n=\frac{-b\pm \sqrt{Delta}}{2a}[/tex]
[tex]n=\frac{-1\pm \sqrt{81}}{2.1}[/tex]
[tex]n=\frac{-1\pm 9}{2}[/tex]
Assim:
[tex]n_1=\frac{-1+9}{2}[/tex]
[tex]n_1=\frac{8}{2}[/tex]
[tex]n_1=4[/tex]
e
[tex]n_2=\frac{-1-9}{2}[/tex]
[tex]n_2=\frac{-10}{2}[/tex]
[tex]n_2=-5[/tex]
Como o valor de [tex]n_2[/tex] é menor que zero e a quantidade de pontos tem que ser um valor maior que zero, então na reta r teremos [tex]4[/tex] pontos para que possamos formar 30 triângulos diferentes.
Se temos uma reta com 3 pontos e considerarmos inicialmente que nela vamos ter 2 vértices (pontos) do triângulo, logo na outra terá somente um ponto para cada triângulo formado. Se ligarmos todos os ponto da reta s em um único ponto da reta r podemos formar 2 triângulos menores (onde os vértices da base de cada triângulo formado é composto por pontos adjacentes) mais 1 triângulo maior (onde os vértices da base do triângulo formado é composto pelos pontos mais afastados). Logo, para cada ponto na reta r teremos 3 triângulos. Logo teremos 3n triângulos com a base na reta s.
Outra forma de deduzir isto é considerarmos que a quantidade de formas diferentes que podemos usar estes 3 pontos, usando 2 por vez é uma combinação, assim:
[tex]C_{a,b}= \frac{a!}{b!(a-b)!} [/tex]
[tex]C_{3,2}= \frac{3!}{2!(3-2)!} [/tex]
[tex]C_{3,2}= \frac{3!}{2!1!} [/tex]
[tex]C_{3,2}= \frac{3.2!}{2!1} [/tex]
[tex]C_{3,2}= \frac{3.1}{1.1} [/tex]
[tex]C_{3,2}= 3 [/tex]
Logo, podemos combinar de 3 formas diferentes os 3 pontos 2 a 2.
Sabendo isso para formar o triângulo usaremos um ponto na reta que tem n pontos. Então formaremos [tex]3n[/tex] triângulos. Veja que ainda não sabemos quantos pontos temos, pois temos que encontra o números menor possível para n.
Prosseguindo, agora vamos fazer o contrário para formar os triângulos. Vamos usar a reta r para a base do triângulo (2 ponto por triângulo). Então para cada triângulo formado usaremos 2 pontos de r e um ponto de s. Sabendo disto, para cada 2 pontos de r podemos formar 3 triângulos (um para cada ponto da reta s). Logo, para saber quanto triângulo podemos formar com n ponto 2 a 2 devemos fazer um combinação e multiplicar por 3, assim:
[tex]C_{a,b}= \frac{a!}{b!(a-b)!} [/tex]
[tex]C_{n,2}= \frac{n!}{2!(n-2)!} [/tex]
[tex]C_{n,2}= \frac{n(n-1)(n-2)!}{2!(n-2)!} [/tex]
[tex]C_{n,2}= \frac{n(n-1).1}{2!.1} [/tex]
[tex]C_{n,2}= \frac{n(n-1)}{2} [/tex]
[tex]C_{n,2}= \frac{n^2-n}{2} [/tex]
Sabemos que temos 30 triângulos diferentes então fazemos a soma dos possibilidades analisadas e igualamos a 30. Assim:
[tex]C_{3,2}.n+3.C_{n,2}=30[/tex]
[tex]3.n+3.\frac{n^2-n}{2}=30[/tex]
[tex]3n+\frac{3n^2-3n}{2}=30[/tex]
[tex]\frac{2.3n+3n^2-3n}{2}=30[/tex]
[tex]\frac{6n+3n^2-3n}{2}=30[/tex]
[tex]\frac{3n^2+3n}{2}=30[/tex]
[tex]3(n^2+n)=2.30[/tex]
[tex]n^2+n=\frac{2.30}{3}[/tex]
[tex]n^2+n=\frac{2.10}{1}[/tex]
[tex]n^2+n=20[/tex]
[tex]n^2+n-20=0[/tex]
Agora basta resolver esta equação utilizando a fórmula de Báskara. Assim:
[tex]n=\frac{-b\pm \sqrt{Delta}}{2a}[/tex]
Onde
[tex]Delta=b^2-4ac[/tex]
[tex]Delta=1^2-4.1.(-20)[/tex]
[tex]Delta=1+80[/tex]
[tex]Delta=81[/tex]
Substituindo o valor de [tex]Delta[/tex], teremos
[tex]n=\frac{-b\pm \sqrt{Delta}}{2a}[/tex]
[tex]n=\frac{-1\pm \sqrt{81}}{2.1}[/tex]
[tex]n=\frac{-1\pm 9}{2}[/tex]
Assim:
[tex]n_1=\frac{-1+9}{2}[/tex]
[tex]n_1=\frac{8}{2}[/tex]
[tex]n_1=4[/tex]
e
[tex]n_2=\frac{-1-9}{2}[/tex]
[tex]n_2=\frac{-10}{2}[/tex]
[tex]n_2=-5[/tex]
Como o valor de [tex]n_2[/tex] é menor que zero e a quantidade de pontos tem que ser um valor maior que zero, então na reta r teremos [tex]4[/tex] pontos para que possamos formar 30 triângulos diferentes.
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