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CombinatóriaUm jogo muito comum nos computadores é o “Minas” ouCombinatória

Um jogo muito comum nos computadores é o “Minas” ou “Campo
Minado”. Nele, uma certa quantidade de bombas é distribuída num “campo”
quadriculado e o jogador precisa descobrir (e não clicar) em quais quadradinhos
estão colocadas as bombas. No quadradinho onde aparece um número é certeza que
não há uma bomba. Por sua vez, o número que aparece dentro do quadradinho
indica quantas bombas há nos quadradinhos que o cercam. Para revelar um
quadradinho, basta clicar nele com o mouse. Se revelar uma bomba, perde o jogo.



(A)  
No jogo representado na figura a seguir, o campo
é um quadriculado 9x9 e existem 5 bombas distribuídas neste campo. Quantas
configurações distintas existem para a alocação das 5 bombas nesta situação
inicial?

(B)   No primeiro quadradinho revelado pelo jogador apareceu o número 3. Isso significa que nele não existe uma bomba e que ao seu redor existem exatamente 3 bombas: elas estão nos oito quadradinhos que circulam o número 3. Sabendo disso, quantas configurações distintas existem para o posicionamento das bombas na situação da figura a seguir?

 Combinatória
Um jogo muito comum nos computadores é o “Minas” ou “Campo
Minado”. Nele, uma certa quantidade de bombas é distribuída num “campo”
quadriculado e o jogador precisa descobrir (e não clicar) em quais quadradinhos
estão colocadas as bombas. No quadradinho onde aparece um número é certeza que
não há uma bomba. Por sua vez, o número que aparece dentro do quadradinho
indica quantas bombas há nos quadradinhos que o cercam. Para revelar um
quadradinho, basta clicar nele com o mouse. Se revelar uma bomba, perde o jogo.



(A)  
No jogo representado na figura a seguir, o campo
é um quadriculado 9x9 e existem 5 bombas distribuídas neste campo. Quantas
configurações distintas existem para a alocação das 5 bombas nesta situação
inicial?

(B)   No primeiro quadradinho revelado pelo jogador apareceu o número 3. Isso significa que nele não existe uma bomba e que ao seu redor existem exatamente 3 bombas: elas estão nos oito quadradinhos que circulam o número 3. Sabendo disso, quantas configurações distintas existem para o posicionamento das bombas na situação da figura a seguir?

Sagot :

A)
O quadriculado, [tex]9\times9[/tex], fornece [tex]81[/tex] locais disponíveis para as bombas.
Se você tem 5 bombas, e quer distribuí-las, vejamos as situações.
No primeiro momento, não há nenhuma bomba no campo, temos [tex]81[/tex] casas ao dispor da primeira bomba. Portanto, para a primeira bomba há [tex]81[/tex] locais diferentes para colocá-la. Não interessa onde foi colocada a primeira bomba, não estamos trabalhando com casos específicos, mas o fato é que ela foi colocada em algum lugar certo? Sobram agora [tex]80[/tex] casas para a segunda bomba. Colocada a segunda bomba, já foram ocupados [tex]2[/tex] lugares do campo, então, temos para a terceira bomba, [tex]79[/tex] locais disponíveis. Seguindo a mesma lógica, tenho [tex]78[/tex] locais para a quarta bomba e [tex]77[/tex] locais para a última.
Só expliquei o que acontece nessa simples conta aqui, 
[tex]C_{81,5}=\dfrac{81!}{5!(81-5)!}[/tex]

[tex]C_{81,5}=\dfrac{81!}{5!76!}[/tex]

[tex]C_{81,5}=\dfrac{81\times80\times79\times78\times77\times76!}{5!76!}[/tex]

[tex]C_{81,5}=\dfrac{81\times80\times79\times78\times77}{5!}[/tex]

[tex]C_{81,5}=\dfrac{81\times80\times79\times78\times77}{5\times4\times3\times2\times1}[/tex]

[tex]C_{81,5}=\dfrac{3074591520}{120}[/tex]

[tex]C_{81,5}=25621596[/tex]


B)
Aqui temos posições fixas das bombas. São cinco bombas a serem colocas, mas três já sabemos onde estão, portanto, nos restam colocar duas bombas.
Um quadradinho foi revelado, então, neste não pode estar a bomba (senão o campo haveria 'explodido'). 
Nesse quadradinho, havia a informação de que três bombas o rodeavam. Portanto, sabemos que estes três quadradinhos não podem ser usados para as duas bombas (não podemos colocar bombas em cima de outras). 
O total, [tex]81[/tex], temos [tex]4[/tex] que não podem ser contados, 
[tex]81-4=77[/tex]
Então temos, 
[tex]C_{77,2}=\dfrac{77!}{2!(77-2)!}[/tex]
[tex]C_{77,2}=\dfrac{77!}{2!75!}[/tex]
[tex]C_{77,2}=\dfrac{77\times76\times75!}{2!75!}[/tex]
[tex]C_{77,2}=\dfrac{77\times76}{2!}[/tex]
[tex]C_{77,2}=\dfrac{5852}{2}[/tex]
[tex]C_{77,2}=2926[/tex]
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