PROGRESSÃO ARITMÉTICA
É um pouco trabalhoso, mas vamo lá:
O problema diz que o 5° termo somado ao dobro do 3° termo é 12
[tex]a _{5}+2a _{3}=12 [/tex]
e que a diferença do triplo do 6° termo pelo 2° é -34
[tex]a _{2}-3a _{6}=-34 [/tex]
com estes dados vamos escrever como os termos realmente são, assim:
[tex] a_{1}+4r+2(a _{1} +2r)=12 [/tex]
[tex]a _{1}+r-3(a _{1}+5r)=-34 [/tex]
reduzindo os termos, vem:
[tex]a _{1}+4r+2a _{1}+4r=12 [/tex]
[tex]a _{1}+r-3a _{1}-15r=-34 [/tex]
reduzindo todos os termos, temos:
|[tex]3a _{1}+8r=12 [/tex] (I) temos um sistema de equações do 1° grau
| nas incógnitas [tex]a _{1} [/tex] e [tex]r[/tex]
|[tex]-2a _{1}-14r=-34 [/tex] (II)
Agora vamos isolar [tex]a _{1} [/tex] em função de [tex]r[/tex] na equação I
[tex]a _{1}= \frac{12-8r}{3} [/tex], e substituir na equação II:
[tex]-2( \frac{12-8r}{3})-14r=-34 [/tex]
[tex]-2( \frac{12-8r}{3})=-34+14r [/tex]
[tex]-2(12-8r)=3(-34+14r)[/tex]
[tex]-24+16r=-102+42r[/tex]
[tex]-24+102=42r-16r[/tex]
[tex]78=26r[/tex]
[tex]r=78/26[/tex]
[tex]r=3[/tex]
Substituindo o valor de r, na equação I, temos:
[tex]3 a_{1}+8r=12 [/tex]
[tex]3a _{1}+24=12 [/tex]
[tex]3a _{1}=12-24 [/tex]
[tex]3a _{1}=-12 [/tex]
[tex]a _{1}=-12/3 [/tex]
[tex]a _{1}=-4 [/tex]
Sabemos que trata-se de uma P.A. de 20 termos, que a razão r é 3 e que o 1° termo é -4, então vamos calcular o 20° termo pela fórmula do termo geral da P.A., veja:
[tex]A _{n}=a _{1}+(n-1)r [/tex]
[tex]A _{20}=-4+(20-1)*3 [/tex]
[tex]A _{20}=-4+19*3 [/tex]
[tex]A _{20}=-4+57 [/tex]
[tex]A _{20}=53 [/tex]
Agora vamos inserir os dados já obtidos para o cálculo da soma dos 20 primeiros termos:
[tex]S _{n}= \frac{(a _{1}+A _{n})n }{2} [/tex]
[tex]S _{20}= \frac{[ (-4)+53]*20 }{2} [/tex]
[tex]S _{20}= \frac{49*20}{2} [/tex]
[tex]S _{20}= \frac{980}{2} [/tex]
[tex]S _{20}=490 [/tex]
Resposta: A soma dos 20 primeiros termos é 490.
