✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que a soma das coordenadas do vértice da parábola da função do segundo grau - função quadrática - é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S_{C_{V}} = -1\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sejam os pontos:
[tex]\Large\begin{cases} A = (0, 5)\\B = (2, -3)\\C = (3, -4)\end{cases}[/tex]
Antes de tudo devemos ter consciência que toda função quadrática pode ser montada da seguinte forma:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = ax^{2} + bx + c,\:\:\:a \neq0\end{gathered}$}[/tex]
Além disso, devemos saber que a equação do segundo grau em sua forma geral, gerada a partir da referida função é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} ax^{2} + bx + c = 0\end{gathered}$}[/tex]
Para resolver esta questão, devemos:
[tex]\Large\begin{cases} a\cdot0^{2} + b\cdot0 + c = 5\\a\cdot2^{2} + b\cdot2 + c = -3\\a\cdot3^{2} + b\cdot3 + c = -4\end{cases}\Longrightarrow \Large\begin{cases} c = 5\\4a + 2b + c = -3\\9a + 3b + c = -4\end{cases}[/tex]
Inserindo o valor de "c" nas duas últimas equações do sistema, temos:
[tex]\Large\begin{cases} 4a + 2b + 5 = -3\\9a + 3b + 5 = -4\end{cases}\Longrightarrow\Large\begin{cases} 4a + 2b = -8\\9a + 3b = -9\end{cases}[/tex]
Isolando "a" na última primeira equação do último sitema, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} a = \frac{-8 - 2b}{4}\end{gathered}$}[/tex]
Inserindo o valor de "a" na segunda equação do último sistema, resolvendo e simplificando os cálculos, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 9\cdot\bigg(\frac{-8 - 2b}{4}\bigg) + 3b = -9\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{-72 - 18b}{4} + 3b = -9\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{-72 - 18b + 12b}{4} = -9\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} -72 - 18b + 12b= -36\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} -18b + 12b = -36 + 72\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} -6b = 36\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} b = -\frac{36}{6}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} b = -6\end{gathered}$}[/tex]
Inserindo o valor de "b" na equação "I", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} a = \frac{-8 - 2\cdot(-6)}{4}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{-8 + 12}{4}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{4}{4}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 1\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, os coeficientes da função são:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} a = 1,\:\:\:b = -6\:\:\:e\:\:\:c = 5\end{gathered}$}[/tex]
Portanto, a função quadrática procurada é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} f(x) = x^{2} - 6x + 5\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S_{C_{V}} = \frac{-b^{2} - 2b + 4ac}{4a}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{-\left[(-6)^{2}\right] - 2\cdot(-6) + 4\cdot1\cdot5}{4\cdot1}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{-36 + 12 + 20}{4}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = -\frac{4}{4}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = -1\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, a soma das coordenadas do vértice é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S_{C_{V}}= - 1\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
S\iba mais:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
