Vamos calcular as áreas das figuras.
Na primeira temos um quadrado de lado [tex]a[/tex]. Sabemos que a área de um quadrado é:
[tex]A=lado^2[/tex]
Assim a área do primeiro quadrado será:
[tex]A_4M=a^2[/tex]
Se cortarmos deste quadrado um pedaço b na largura e na altura estaremos retirando 2 retângulos de dimensões [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex]. Sendo que cada retângulo tem a área definida por:
[tex]A=base.altura[/tex]
[tex]A_R=a.b[/tex]
[tex]A_R=ab[/tex]
Mas, note que estes retângulos tem um pedaço em comum (quadrado de lado b em vermelho na figura III). Então a parte tirada do quadrado maior pelo segundo retângulo será a mesma área do retângulo [tex]A_R[/tex] menos a área do quadrado menor ([tex]A_4m=b^2[/tex]). Assim:
[tex]A_r=A_R-A_4m[/tex]
[tex]A_r=ab-b^2[/tex]
Agora para saber a área do quadrado que sobrou ([tex]A_S[/tex]) na figura IV depois dos cortes devemos pegar a área do quadrado maior ([tex]A_4M[/tex]) e subtrair as áreas dos retângulos tirados ([tex]A_R[/tex] e [tex]A_r[/tex]). Assim:
[tex]A_S=A_4M-(A_R+A_r)[/tex]
[tex]A_S=a^2-(ab+ab-b^2)[/tex]
[tex]A_S=a^2-ab-ab+b^2[/tex]
[tex]A_S=a^2-2ab+b^2[/tex]
Portanto esta será a área do quadrado que sobrou. Mas, podemos ver que o lado deste quadrado mede [tex]a-b[/tex] pois foi tirado [tex]b[/tex] do lado do quadrado maior, [tex]a[/tex]. E sabemos que fórmula da área do quadrado é:
[tex]A=lado^2[/tex]
Então, vamos calcular a área do quadrado resultante sabendo a medida do seu lado ([tex]a-b[/tex]). Assim:
[tex]A_S=(a-b)^2[/tex]
Agora vamos igualar as duas expressões que encontramos para a área deste quadrado que sobrou assim:
[tex]A_S=A_S[/tex]
[tex](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/tex]
Desta forma, provamos geometricamente a fórmula do produto notável da diferença.
