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USEB 2000. Adapatada). para qalquer x real a sequência (5x, 5x+1, 5x +2, 5x+3,.....)  é 
uma progressão geométrica de razão :

a = 5-1   
b= 5 
c= 5x
d= 5-x  
e= 5x+1

Sagot :

Para encontrar a razão ([tex]q[/tex]) de uma progressão geométrica (PG) devemos fazer a razão entre um termo e o seu antecessor, pois sabemos que a fórmula do termo geral ([tex]a_n[/tex]) de uma PG é:

[tex]a_n=a_1.q^{n-1}[/tex]

Se fizermos a razão entre dois termos consecutivos teremos a razão ([tex]q[/tex]). Assim:

[tex] \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{a_1.q^{(n-1)}}{a_1.q^{[(n-1)-1]}}=\frac{1.q^(n-1)}{1.q^{(n-1)}.q^{-1}}[/tex]

[tex] \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{q^(n-1)}{q^{(n-1)}.q^{-1}}=\frac{1}{1.q^{-1}}=\frac{1}{q^{-1}}=q^{1}=q[/tex]

[tex] \frac{a_n}{a_{n-1}}=q[/tex]

Sabendo disto basta fazer a razão entre dois termos consecutivos quaisquer desta PG. Assim:

[tex]q=\frac{a_2}{a_{1}}=\frac{5x+1}{5x}[/tex]

Se fizermos com outros dois termos.

[tex]q=\frac{a_3}{a_{2}}=\frac{5x+2}{5x+1}[/tex]

Podemos perceber que está sequência não é uma PG pois encontramos razões diferentes. Esta sequência é uma progressão aritmética (PA). Podemos perceber calculando a razão ([tex]r[/tex]) entre dois termos de uma PA. Assim:

[tex]a_n=a_1+r(n-1)[/tex]

Logo:

[tex]a_2=a_1+r(2-1)[/tex]

[tex]a_2=a_1+r(1)[/tex]

[tex]a_2=a_1+r[/tex]

[tex]5x+1=5x+r[/tex]

[tex]5x+1-5x=r[/tex]

[tex]1=r[/tex]

[tex]r=1[/tex]

Para testar vamos fazer com outros termos:

[tex]a_n=a_1+r(n-1)[/tex]

[tex]a_3=a_1+r(3-1)[/tex]

[tex]a_3=a_1+r(2)[/tex]

[tex]a_3=a_1+2r[/tex]

[tex]5x+2=5x+2r[/tex]

[tex]5x+2-5x=2r[/tex]

[tex]2=2r[/tex]

[tex]2r=2[/tex]

[tex]r=\frac{2}{2}[/tex]

[tex]r=1[/tex]

Como podemos ver a razão ([tex]r[/tex]) foi a mesma. Então podemos concluir que esta sequência NÃO é um PG e sim uma PA com razão [tex]1[/tex].

ATENÇÃO: Analisei melhor sua pergunta e para ter sentido a sequência dada deve ser (5^x, 5^{x+1}, 5^{x+2}, 5^{x+3}, ...). Esta sim é uma PG cuja razão é:

[tex] \frac{a_n}{a_{n-1}}=q[/tex]

[tex] \frac{a_2}{a_{2-1}}=q[/tex]

[tex] \frac{a_2}{a_{1}}=q[/tex]

[tex] \frac{5^{x+1}}{5^x}=q[/tex]

[tex] \frac{5^x.5^1}}{5^x}=q[/tex]

[tex] \frac{1.5^1}}{1}=q[/tex]

[tex]5^1=q[/tex]

[tex]5=q[/tex]

[tex]q=5[/tex]

Logo a razão ([tex]q[/tex]) da PG dada será [tex]5[/tex].
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