1) Vamos efetuar as operações no segundo membro:
[tex]\frac{a}{x+2}+\frac{b}{x-3}+\frac{c}{x+5}=\frac{a x^2+2 a x-15 a+b x^2+7 b x+10 b+c x^2-c x-6 c}{(x-3) (x+2) (x+5)}[/tex]
Veja que o denominador é igual ao denominador do lado esquerdo. Assi, para os polinômios serem idênticos é necessário somente que os numeradores sejam idênticos.
2) Vamos agora ordenar o numerador do segundo membro em ordem decrescente dos expoentes de "x":
[tex]a x^2+2 a x-15 a+b x^2+7 b x+10 b+c x^2-c x-6 c= \\
\\
(a+b+c)x^2+(2a+7b-c)x+(-15a+10b-6c)[/tex]
3) Agora estabelecemos um sistema de 3 incógnitas e 3 equações igualando os coeficientes respectivos de ambos os numeradores:
[tex]\boxed{ \left \{ {{a+b+c=3} \atop {2a+7b-c=40}} \atop {-15a+10b-6c=53}\right. }[/tex]
A solução deste sistema é: a=1, b=5 e c=-3, que são os valores procurados
A solução do sistema fiz por escalonamento de matrizes, a qual reproduzo abaixo:
1 1 1 3
2 7 -1 40
-15 10 -6 53
L1 x 5 - L2 e L1 x 15 - L3
1 1 1 3
0 -5 3 -34
0 25 9 98
L2 x 5 + L3
1 1 1 3
0 -5 3 -34
0 0 24 -72
