Vamos lá!
Temos a seguinte sequência
[tex](x+1)< (2x)<(x^2+1)[/tex]
Como é uma progressão geométrica, o termo médio é a média aritmética dos extremos.
Os termos são
[tex]a_1 = x+ 1 [/tex]
[tex]a_2 = 2x[/tex]
[tex]a_3 = x^2 +1[/tex]
[tex]a_2[/tex] portanto, é nossa média aritmética.
Sendo assim,
[tex]a_2 = \dfrac{a_1+a_3}{2}[/tex]
[tex]2x = \dfrac{(x+1)+(x^2+1)}{2}[/tex]
[tex]2x\times2 = (x+1)+(x^2+1)[/tex]
[tex]4x = x^2 + x + 2[/tex]
[tex]x^2 + x + 2 - 4x = 0[/tex]
[tex]x^2 + 2 - 3x = 0[/tex]
Uma equação do 2º grau. Por Bhaskara,
[tex]x^2 - 3x + 2 = 0[/tex]
[tex]a = 1
[/tex]
[tex]b = -3[/tex]
[tex]c = 2[/tex]
[tex]x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex]
[tex]x = \dfrac{-(-3) \pm \sqrt{-3^2-4\times1\times2}}{2\times1}[/tex]
[tex]x = \dfrac{+3 \pm \sqrt{9-8}}{2}[/tex]
[tex]x = \dfrac{+3 \pm \sqrt{1}}{2}[/tex]
[tex]x = \dfrac{+3 \pm1}{2}[/tex]
[tex]x' = 1 [/tex]
[tex]x'' = 2[/tex]
Como achamos duas medidas positivas para x, devemos conferir, qual dos dois valores nos entregará um valor que atenda as condições, pedidas pelo exercício:
No caso do [tex]x'[/tex],
[tex]a_1 = x+ 1 = 1 + 1 = 2 [/tex]
[tex]a_2 = 2x = 2\times1 = 2[/tex]
[tex]a_3 = x^2 +1 = 1^2 + 1 = 2[/tex]
Quando o x = 1, as condições do exercício não são atendidas, isto é, com x', não é possível se formar um triângulo triângulo retângulo, já que todas as medidas dos lados são iguais a 2 (como foi demonstrado acima). Isso nos entregaria um triângulo equilátero. Logo, x' está descartada.
No caso do [tex]x''[/tex],
[tex]a_1 = x+ 1 = 2+ 1 = 3 [/tex]
[tex]a_2 = 2x = 2\times2 = 4[/tex]
[tex]a_3 = x^2 +1 = 2^2 + 1 = 5[/tex]
Quando o x = 2, as condições do exercício serão atendidas, isto é, com x'', é possível se formar um triângulo triângulo retângulo, já que todas as medidas dos lados são diferentes (como foi demonstrado acima). Nesse triângulo retângulo. Logo, x'' é válida.
Tendo a medida dos valores dos lados deste triângulo,
Hipotenusa =[tex] a_3 = (x^2 + 1) = 5[/tex] (Por ser a maior das medidas)
Cateto' = Base = [tex]a_1 = (x + 1) = 3[/tex]
Cateto'' = Altura = [tex]a_2 = (2x) = 4[/tex]
Cálculo do Perímetro (Soma de todos os lados):
Hipotenusa + Base + Altura =
[tex]5 + 3 + 4 = 12[/tex]
Cálculo do Área
[tex]\dfrac{Base\times{Altura}}{2}[/tex]
[tex]At = \dfrac{3 \times 4}{2}[/tex]
[tex]At = \dfrac{12}{2}[/tex]
[tex]At = 6
[/tex]
Resposta Final:
Área desse triângulo retângulo = 6
Perímetro = 12
