cleianog
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Quanto é a soma de todos os números positivos ímpares até 2013, menos a soma de todos os números positivos pares até 2013.

Sagot :

bielsilvanunes
Usaremos cálculos de uma sequência de Progressão Aritmética.

Primeiramente a soma de ímpares até 2013...

Observe que é uma sequência de ímpares assim: {1,3,5,7...2013} 
Primeiramente devemos descobrir a quantidade de números da progressão pela fórmula: [tex] \alpha _n = \alpha _1 + (n-1)r[/tex]  , sendo que a razão r=2 1--3--5--7 ... sempre somam 2[/tex] 
[tex] \alpha _n = 2013 \alpha _1 = 1 [/tex]

Resolvendo a equação, n(número de termos) = 1006

Sabendo que temos o número de termos da progressão, podemos usar a fórmula da SOMA DOS TERMOS DA PA: [tex]S_n = \frac{( \alpha _1 + \alpha _n) n}{2} [/tex]
Resolvendo a soma dos termos fica =506521

Agora faça o mesmo para os números pares, de sequência: {2,4,6,8...2012}

Terá que a soma dos termos é a mesma. Sn= 506521

Portanto, a subtração dos dois resulta 0 (Zero)

Boa noite!!! 
Niiya
P.A dos números ímpares de 1 até 2013: [tex](1, 3, 5, 7, 9, ..., 2013)[/tex]

[tex]a_{1} = 1[/tex]
[tex]a_{2} = 3[/tex]

[tex]r = a_{2} - a_{1} => 3 - 1 => r = 2[/tex]

[tex]a_{n} = a_{1} + (n - 1)r[/tex]
[tex]2013 = 1 + (n - 1)2[/tex]
[tex]2013 - 1 = (n - 1)2[/tex]
[tex]2012 = (n - 1)2[/tex]
[tex]2012/2 = n - 1[/tex]
[tex]1006 = n - 1[/tex]
[tex]1006 + 1 = n[/tex]
[tex]n = 1007[/tex]

[tex]S_{n} = (a_{1} + a_{n}) * n / 2[/tex]
[tex]S_{1007} = (a_{1} + a_{1007}) *1007/2[/tex]
[tex]S_{1007} = (1 + 2013)*1007/2[/tex]
[tex]S_{1007} = 2014*1007/2[/tex]
[tex]S_{1007} = 1007*1007[/tex]
[tex]S_{1007} = 1014049[/tex]
____________________________________

P.A dos números pares de 1 até 2013: [tex](2, 4, 6, 8,10, ..., 2012)[/tex]

[tex]r = a_{2} - a_{1} = 4 - 2 => r = 2[/tex]

[tex]a_{n} = a_{1} + (n - 1)r[/tex]
[tex]2012 = 2 + (n - 1)2[/tex]

Colocando 2 em evidência:

[tex]2012 = 2(1 + n - 1)[/tex]
[tex]2012 = 2n[/tex]
[tex]2012/2 = n[/tex]
[tex]n = 1006[/tex]

[tex]S_{n} = (a_{1} + a_{n}) * n / 2[/tex]
[tex]S_{1006} = (a_{1} + a_{1006})*1006/2[/tex]
[tex]S_{1006} = (2 + 2012)*503[/tex]
[tex]S_{1006} = 2014*503[/tex]
[tex]S_{1006} = 1013042[/tex]
____________________________________

[tex]1014049 - 1013042 = 1007[/tex]
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