Vamos simplificar a equação.
[tex]\frac{3+mi}{2-i}=1+2i[/tex]
[tex]3+mi=(1+2i)(2-i)[/tex]
[tex]3+mi=2-i+4i-2i^2[/tex]
Sabemos que [tex]i^2= \sqrt{(-1)^2} =-1[/tex]. Então:
[tex]3+mi=2-i+4i-(-2(-1))[/tex]
[tex]3+mi=2-i+4i+2[/tex]
[tex]3+mi=2+2+4i-i[/tex]
[tex]3+mi=4+3i[/tex]
Para que o número seja imaginário puro a parte real deve ser zero, ficando somente a parte imaginária. Assim:
[tex]a+bi[/tex] (Número complexo, onde a é a parte Real e b a parte imaginária)
Então, para ser um número imaginário puro devemos ter [tex]a=0[/tex] e [tex]b \neq 0[/tex]. Vamos isolar a parte imaginária na equação simplificada:
[tex]3+mi=4+3i[/tex]
[tex]3-4+mi=3i[/tex]
[tex]-1+mi=3i[/tex]
Podemos perceber o valor m deve ter um valor que cancele com o [tex]-1[/tex] e gere o [tex]3i[/tex] de forma a manter a igualdade. Logo, m será um número complexo. Assim:
[tex]m=m_R+m_i[/tex]
Substituindo m em [tex]-1+mi=3i[/tex]. Teremos:
[tex]-1+mi=3i[/tex]
[tex]-1+(m_R+m_i)i=3i[/tex]
[tex](-1+m_R)+(m_i)i=0+3i[/tex]
Igualando as partes reais e as partes imaginárias teremos:
I) [tex]-1+m_Ri=0[/tex]
e
II) [tex]m_ii=3i[/tex]
Vamos resolver I). Assim:
[tex]-1+m_Ri=0[/tex]
[tex]m_Ri=1[/tex]
[tex]m_R=\frac{1}{i}[/tex]
[tex]m_R=\frac{1}{i}.1[/tex]
[tex]m_R=\frac{1}{i}.\frac{i}{i}[/tex]
[tex]m_R=\frac{i}{i^2}[/tex]
Sabemos que [tex]i^2= \sqrt{(-1)^2} =-1[/tex]. Então:
[tex]m_R=\frac{i}{-1}[/tex]
[tex]m_R=-i[/tex]
Agora vamos resolver II). Assim:
[tex]m_ii=3i[/tex]
[tex]m_i=\frac{3i}{i}[/tex]
[tex]m_i=\frac{3.1}{1}[/tex]
[tex]m_i=3[/tex]
Finalmente, vamos montar o [tex]m=m_R+m_i[/tex]. Assim:
[tex]m=m_R+m_i[/tex]
[tex]m=-i+3[/tex]
[tex]m=3-i[/tex]
Logo o valor de [tex]m[/tex] será [tex]3-i[/tex]. De forma que tenhamos um número imaginário puro.
