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Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x)=x² no ponto de abscissa 3. Esboce o gráfico.

Sagot :

MATHSPHIS
Para determinar o coeficiente angular da reta procurada vamos derivar a função.
f(x)=x² então f'(x)=2x   (utilizando a regra de derivação)

Agora vamos achar a derivada da função no ponto x=3:
Basta substituir x por 3, na função derivada:
m=f'(3)=2.3=6

Já temos o coeficiente angular da reta procurada.
Agora vamos determinar as coordenadas do ponto de tangência.
Já temos a abscissa: 3
A ordenada será obtida substituindo x por 3 na função original:
f(3)=3²=9
Então a reta tangente tem coeficiente angular igual a e e passa no ponto P(3,9)
Agora vamos achar a equação reduzida da reta:
Primeiro determinamos a equação fundamental que é do tipo:
[tex]y-y_P=m(x-x_P)[/tex]
Substituindo:
[tex]y-9=6(x-3) \\ y-9=6x-18 \\ y=6x-18+9 \\ \boxed{y=6x-9} [/tex]
Esta é a equação da reta procurada.
View image MATHSPHIS
eulucioaraujo

> Determinando o coeficiente angular da reta tangente a f(x) = x² no ponto (3,y):

f'(x) = (x²)'

(x²)' = 2x²⁻¹

(x²)' = 2x¹

(x²)' = 2x

[tex]\boxed{m = 2x}[/tex]

> Calculando o coeficiente angular da reta tangente a f(x) = x², com x = 3:

m = 2x

m = 2 . 3

[tex]\boxed{m = 6}[/tex]

> Encontrando a ordenada da abcissa 3 no ponto de tangência:

f(x) = x²

f(3) = 3²

f(3) = 9

Ponto de Tangência: [tex]\boxed{(3,9)}[/tex]

> Determinando a equação da reta procurada:

y - y₀ = m . (x - x₀)

y - 9 = 6 . (x - 3)

y - 9 = 6x - 18

y = 6x - 18 + 9

[tex]\boxed{y = 6x - 9}[/tex]

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Espero ter ajudado, um abraço! :)

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