Para que esse sistema não tenha solução única, deixando-o com infinitas soluções ou um sistema impossível, é necessário que:
[tex]det \left[\begin{array}{cc}4&a\\6-a&2\\\end{array}\right] =0[/tex]
(essa condição é meio esquisita, mas tem a ver com a Regra de Cramer ;D )
Resolvendo aquele determinante temos que:
8 - a(6-a) = 0 => a² - 6a + 8 = 0
[tex]\Delta = (-6)^{2} -4.8 => \Delta = 4[/tex]
[tex]a= \frac{6+/-\sqrt{4}}{2} = \frac{6+/-2}{2}[/tex] => [tex]a=4[/tex] ou [tex]a=2[/tex]
Agora
vamos substituir esses valores no sistema. Aquele determinante ser 0
garante que não existe solução única. Um desses valores pode gerar um
sistema sem solução alguma. Vamos lá!
I) a=2
[tex] \left \{ {{4x+2y=-1+2} \atop {4x+2y=3-2}} \right. => \left \{ {{4x+2y=1} \atop {4x+2y=1}} \right[/tex]
Pelas duas equações serem iguais, esse sistema pode ser reescrito com apenas uma equação a duas variáveis, logo ele tem infinitas soluções :D
II) a=4
[tex] \left \{ {{4x+4y=-1+4} \atop {2x+2y=3-4}} \right. => \left \{ {{4x+4y=3} \atop {2x+2y=-1}} \right. [/tex]
A
primeira equação pode ser reescrita como 2(2x+2y) que, usando a segunda
equação, fica igual a -2, mas [tex]-2 \neq 3 [/tex]. Por causa disso
esse sistema não tem solução. X____X
R: apenas o valor a=2
