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Sagot :
Para resolvermos uma equação exponencial precisamos aplicar técnicas para igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes são iguais. Observe a resolução da equação exponencial a seguir:
3x = 2187 (fatorando o número 2187 temos: 37)
3x = 37
x = 7
(para ser equação exponencial devemos ter uma igualdade que tenha uma variável (normalmente X) colocada no expoente (potência)).
3x = 2187 (fatorando o número 2187 temos: 37)
3x = 37
x = 7
(para ser equação exponencial devemos ter uma igualdade que tenha uma variável (normalmente X) colocada no expoente (potência)).
EXPONENCIAL
Equações Exponenciais 1°, 2° e 3° tipos:
Resolva as Equações Exponenciais:
A) [tex]0,001 ^{x-1}=10000 ^{x} [/tex]
B) [tex]3( \sqrt[5]{2}) ^{2x+1}= 24[/tex]
C) [tex](0,25) ^{x-5}= \sqrt[]{8} [/tex]
D) [tex]2 ^{x+1}+2 ^{x}-5*2 ^{x-1}=4 [/tex]
E) [tex]9 ^{x}-12*3 ^{x}= -27 [/tex]
Resolução:
[tex]0,001 ^{x-1}=10000 ^{x} [/tex]
[tex]0,001= \frac{1}{1000} [/tex] e [tex]10000=10 ^{4} [/tex]
[tex] (\frac{1}{1000} ) ^{x-1}=10 ^{4} [/tex] .:. aplicando a propriedade da potencição:
[tex] (\frac{1}{10 ^{3} }) ^{x-1} =10 ^{4} [/tex]
[tex](10 ^{-3}) ^{x-1} =10 ^{4} [/tex]
eliminando as bases e conservando os expoentes, temos:
[tex]-3(x-1)=4[/tex]
[tex]-3x+3=4[/tex]
[tex]-3x=4-3[/tex]
[tex]-3x=1[/tex]
[tex]x= -\frac{1}{3} [/tex]
Solução: {[tex] -\frac{1}{3} [/tex]}
[tex]3( \sqrt[5]{2}) ^{2x+1}=24 [/tex]
[tex] (\sqrt[5]{2}) ^{2x+1}= \frac{24}{3} [/tex]
[tex]( \sqrt[5]{2}) ^{2x+1}=8 [/tex]
transformando 8 em forma de potência, temos:
[tex] (\sqrt[5]{2}) ^{2x+1}=2 ^{3} [/tex]
retirando o 2 da raiz e transformando em expoente racional, vem:
[tex] \sqrt[5]{2 ^{1} }=2 ^{ \frac{1}{5} } [/tex]
[tex](2 ^{ \frac{1}{5} } ) ^{2x+1}=2 ^{3} [/tex]
eliminando as bases e conservando os expoentes, temos:
[tex] \frac{1}{5}(2x+1)=3 [/tex]
[tex] \frac{2}{5}x+ \frac{1}{5}=3 [/tex]
[tex] \frac{2}{5}x=3- \frac{1}{5} [/tex]
[tex] \frac{2}{5}x= \frac{14}{5} [/tex]
[tex]x= \frac{14}{5} : \frac{1}{5} [/tex]
[tex]x= \frac{196}{5} [/tex]
Solução: {[tex] \frac{196}{5} [/tex]}
[tex](0,25) ^{x-5}= (\sqrt[4]{8}) ^{-x} [/tex]
sabemos que [tex]0,25= \frac{1}{4} [/tex], então:
[tex] (\frac{1}{4}) ^{x-5}= (\sqrt[4]{2 ^{3} }) ^{-x} [/tex]
[tex]( \frac{1}{2 ^{2} }) ^{x-5}=(2 ^{ \frac{3}{4} }) ^{-x} [/tex]
[tex](2 ^{-2}) ^{x-5}=(2 ^{ \frac{3}{4} }) ^{-x} [/tex]
eliminando as bases e conservando os expoentes, temos:
[tex]-2(x-5)= -\frac{3}{4}x [/tex]
[tex]-2x+10= -\frac{3}{4}x [/tex]
[tex]10= -\frac{3}{4}x+2x [/tex]
[tex]10=- \frac{5}{4}x [/tex]
[tex]x= \frac{10}{- \frac{5}{4} } [/tex]
[tex]x= -8[/tex]
[tex]2 ^{x+1}+2 ^{x}-5*2 ^{x-1}=4 [/tex]
aplicando a propriedade da potenciação, vem:
[tex]2 ^{x}*2 ^{1}+2 ^{x}-5* 2^{x}*2 ^{-1}=4 [/tex]
utilizando uma variável auxiliar, fazendo [tex]2 ^{x}=y [/tex], temos:
[tex]y*2+y-5*y* \frac{1}{2}=4 [/tex]
[tex]3y- \frac{5}{2}y=4 [/tex]
[tex]6y-5y=8[/tex]
[tex]y=8[/tex]
Retornando a variável original, [tex]y= 2^{x} [/tex] .:. [tex]8=2 ^{x} [/tex] .:.
[tex]2 ^{3}=2 ^{x} [/tex] .:. [tex]x=3[/tex]
Solução: {3}
[tex]9 ^{x}-12*3 ^{x}=-27 [/tex]
[tex](3 ^{2}) ^{x}-12*3 ^{x}+27=0 [/tex]
Trocando a variável de posição, temos:
[tex](3 ^{x}) ^{2}-12*3 ^{x}+27=0 [/tex]
Fazendo [tex]3 ^{x}=y [/tex], temos:
[tex](y) ^{2}-12*(y)+27=0 [/tex]
[tex] y^{2}-12y+27=0 [/tex], Resolvendo esta equação do 2° grau, obtemos as raízes
x'=9 e x"=3 .:. voltando a variável original, temos: [tex]y= 3^{x} [/tex] .:. [tex]9=3 ^{x} [/tex]
.:. [tex]3 ^{2}=3 ^{x} [/tex] .:. [tex]x=2[/tex]
.:. [tex]3= 3^{x} [/tex] .:. [tex]3 ^{1}=3 ^{x} [/tex] .:. [tex]x=1[/tex]
Logo:
Solução: {2, 1}
Equações Exponenciais 1°, 2° e 3° tipos:
Resolva as Equações Exponenciais:
A) [tex]0,001 ^{x-1}=10000 ^{x} [/tex]
B) [tex]3( \sqrt[5]{2}) ^{2x+1}= 24[/tex]
C) [tex](0,25) ^{x-5}= \sqrt[]{8} [/tex]
D) [tex]2 ^{x+1}+2 ^{x}-5*2 ^{x-1}=4 [/tex]
E) [tex]9 ^{x}-12*3 ^{x}= -27 [/tex]
Resolução:
[tex]0,001 ^{x-1}=10000 ^{x} [/tex]
[tex]0,001= \frac{1}{1000} [/tex] e [tex]10000=10 ^{4} [/tex]
[tex] (\frac{1}{1000} ) ^{x-1}=10 ^{4} [/tex] .:. aplicando a propriedade da potencição:
[tex] (\frac{1}{10 ^{3} }) ^{x-1} =10 ^{4} [/tex]
[tex](10 ^{-3}) ^{x-1} =10 ^{4} [/tex]
eliminando as bases e conservando os expoentes, temos:
[tex]-3(x-1)=4[/tex]
[tex]-3x+3=4[/tex]
[tex]-3x=4-3[/tex]
[tex]-3x=1[/tex]
[tex]x= -\frac{1}{3} [/tex]
Solução: {[tex] -\frac{1}{3} [/tex]}
[tex]3( \sqrt[5]{2}) ^{2x+1}=24 [/tex]
[tex] (\sqrt[5]{2}) ^{2x+1}= \frac{24}{3} [/tex]
[tex]( \sqrt[5]{2}) ^{2x+1}=8 [/tex]
transformando 8 em forma de potência, temos:
[tex] (\sqrt[5]{2}) ^{2x+1}=2 ^{3} [/tex]
retirando o 2 da raiz e transformando em expoente racional, vem:
[tex] \sqrt[5]{2 ^{1} }=2 ^{ \frac{1}{5} } [/tex]
[tex](2 ^{ \frac{1}{5} } ) ^{2x+1}=2 ^{3} [/tex]
eliminando as bases e conservando os expoentes, temos:
[tex] \frac{1}{5}(2x+1)=3 [/tex]
[tex] \frac{2}{5}x+ \frac{1}{5}=3 [/tex]
[tex] \frac{2}{5}x=3- \frac{1}{5} [/tex]
[tex] \frac{2}{5}x= \frac{14}{5} [/tex]
[tex]x= \frac{14}{5} : \frac{1}{5} [/tex]
[tex]x= \frac{196}{5} [/tex]
Solução: {[tex] \frac{196}{5} [/tex]}
[tex](0,25) ^{x-5}= (\sqrt[4]{8}) ^{-x} [/tex]
sabemos que [tex]0,25= \frac{1}{4} [/tex], então:
[tex] (\frac{1}{4}) ^{x-5}= (\sqrt[4]{2 ^{3} }) ^{-x} [/tex]
[tex]( \frac{1}{2 ^{2} }) ^{x-5}=(2 ^{ \frac{3}{4} }) ^{-x} [/tex]
[tex](2 ^{-2}) ^{x-5}=(2 ^{ \frac{3}{4} }) ^{-x} [/tex]
eliminando as bases e conservando os expoentes, temos:
[tex]-2(x-5)= -\frac{3}{4}x [/tex]
[tex]-2x+10= -\frac{3}{4}x [/tex]
[tex]10= -\frac{3}{4}x+2x [/tex]
[tex]10=- \frac{5}{4}x [/tex]
[tex]x= \frac{10}{- \frac{5}{4} } [/tex]
[tex]x= -8[/tex]
[tex]2 ^{x+1}+2 ^{x}-5*2 ^{x-1}=4 [/tex]
aplicando a propriedade da potenciação, vem:
[tex]2 ^{x}*2 ^{1}+2 ^{x}-5* 2^{x}*2 ^{-1}=4 [/tex]
utilizando uma variável auxiliar, fazendo [tex]2 ^{x}=y [/tex], temos:
[tex]y*2+y-5*y* \frac{1}{2}=4 [/tex]
[tex]3y- \frac{5}{2}y=4 [/tex]
[tex]6y-5y=8[/tex]
[tex]y=8[/tex]
Retornando a variável original, [tex]y= 2^{x} [/tex] .:. [tex]8=2 ^{x} [/tex] .:.
[tex]2 ^{3}=2 ^{x} [/tex] .:. [tex]x=3[/tex]
Solução: {3}
[tex]9 ^{x}-12*3 ^{x}=-27 [/tex]
[tex](3 ^{2}) ^{x}-12*3 ^{x}+27=0 [/tex]
Trocando a variável de posição, temos:
[tex](3 ^{x}) ^{2}-12*3 ^{x}+27=0 [/tex]
Fazendo [tex]3 ^{x}=y [/tex], temos:
[tex](y) ^{2}-12*(y)+27=0 [/tex]
[tex] y^{2}-12y+27=0 [/tex], Resolvendo esta equação do 2° grau, obtemos as raízes
x'=9 e x"=3 .:. voltando a variável original, temos: [tex]y= 3^{x} [/tex] .:. [tex]9=3 ^{x} [/tex]
.:. [tex]3 ^{2}=3 ^{x} [/tex] .:. [tex]x=2[/tex]
.:. [tex]3= 3^{x} [/tex] .:. [tex]3 ^{1}=3 ^{x} [/tex] .:. [tex]x=1[/tex]
Logo:
Solução: {2, 1}
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