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{ FUVEST 2005} Três números positivos, cuja soma é 30, estão em progressão aritmética. Somando-se, espectivamente, 4, −4 e −9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa progressão aritmética, obtemos três números em progressão geométrica. Então, um dos termos da progressão aritmética  è :

a) 9
b) 11
c) 12
d) 13
e) 15

 

Sagot :

vchinchilla22

Ola!


Temos então que calcular a Progressão aritmetica, sabendo que são três números positivos, cuja soma é 30, ou seja:


[tex] a+(a+r)+(a+2r)=30 [/tex]


Onde:


R = razão da Progressão aritmetica, e ela vai ser:


Que isolando da P.A pode ser obtida:


[tex] a+(a+r)+(a+2r)=30 [/tex]


[tex] a+ a+r + a+2r =30 [/tex]


[tex] 3a + 3r =30 [/tex]


[tex] 3r = 30 - 3a [/tex]


[tex] r = \frac{30 - 3a}{3} \\

r = 30 - a [/tex]


Agora sabendo que somando-se, respectivamente, 4, −4 e −9 aos primeiro, segundo e terceiro termos dessa progressão aritmética, obtemos três números em progressão geométrica.


[tex] \frac{(a + r) - 4}{a +4} = \frac{(a +2r)-9}{(a+r) - 4} [/tex]


[tex] \frac{a+10-a-4}{a+4}=\frac{a+20-2a-9}{a+10-a-4} [/tex]


[tex] \frac{6}{a+4}=\frac{11-a}{6} [/tex]


[tex] a^2-7a-8= 0 [/tex]


Resolvemos aplicando a formula quadrática e obtemos:


[tex] a = 8\\
r =2\\ [/tex]


Assim podemos determinar que as progressões são:


- Progressão aritmetica: 8, 10, 12


- Progressão geometrica: 12, 6, 3



De tal forma que a alternativa correta é: c) 12

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