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Segundo Antifão, um polígono regular de 16 lados, inscrito num círculo, ocuparia que proporção da área do círculo?

Sagot :

FelipeQueiroz
Uma fórmula pra se calcular a área de um triângulo é [tex]s = a.b.sen\theta[/tex], onde [tex]\theta[/tex] é o ângulo compreendido entre os lados que medem a e b. Inscrevendo o polígono de 16 lados no círculo podemos formar 16 triângulos congruentes onde os vértices são o centro da circunferência, que chamarei de O, e dois vértices consecutivos do polígono, chamados de A e B. Note que [tex]med(A\hat{O}B)= \frac{2\pi}{16} = \frac{\pi}{8}[/tex] e que OA=OB=r; nessas condições, a área do triângulo AOB é [tex]r.r.sen( \frac{\pi}{8})[/tex]. A área do polígono de 16 lados, que chamarei de S, vale, então, [tex]S= 16r^{2}.sen( \frac{\pi}{8})[/tex]. A razão k entre S e a área do círculo é, então:

[tex]k= \frac{S}{\pi.r^{2}} = \frac{16r^{2}.sen( \pi /8)}{\pi .r^{2}} => k= \frac{16.sen(\pi /8)}{\pi}[/tex]
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