Chamando a hipotenusa de [tex]a[/tex] e os catetos de [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex], temos:
[tex]b+c=17\Longrightarrow b=17-c\\\\
a^2=b^2+c^2\\
13^2=(17-c)^2+c^2\\
169=289-34c+c^2+c^2\\\\
2c^2-34c+120=0\Longrightarrow c^2-17c+60=0\\\\
\Delta=b^2-4\cdot a\cdot c\\
\Delta=(-17)^2-4\cdot1\cdot60\\
\Delta=289-240\\
\Delta=49\\\\
c=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{17\pm\sqrt{49}}{2\cdot1}=\dfrac{17\pm7}{2}\rightarrow\begin{cases}c_1=12\\c_2=5\end{cases}[/tex]
Agora, calculando o valor do outro cateto, temos:
[tex]p/\;c_1=12\Longrightarrow b_1+c_1=17\Longrightarrow b_1+12=17\Longrightarrow b_1=5\\\\
p/\;c_2=5\Longrightarrow b_2+c_2=17\Longrightarrow b_2+5=17\Longrightarrow b_2=12[/tex]
Podemos concluir, então, que um cateto mede 12 cm e o outro mede 5 cm. Calculando o perímetro desse triângulo, temos:
[tex]2p=a+b+c=13+12+5\\\\
\boxed{2p=30\;cm}[/tex]
