erickguedes05
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Determine os valores de x q satisfazem à inequação x²-2x-3 / x-2 [tex] \leq 0
[/tex]
                                                                           


Sagot :

rikardoa
Primeiramente devemos estudar as restrições. Como não podemos dividir por 0 (zero), então a expressão que está no denominador tem que ser diferente de zero. Assim:

[tex]x - 2 \neq 0[/tex]

[tex]x \neq 2[/tex]

Agora devemos encontrar as raízes de expressão do numerador.

[tex]x^2 - 2x - 3 = 0[/tex]

Delta = (-2)^2 - 4 . 1 . (-3)  = 4 +12 = 16

Então:

[tex]x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2}[/tex]
[tex]x_1 = \frac{2 + 4}{2}[/tex]
[tex]x_1 = \frac{6}{2}[/tex]
[tex]x_1 = 3[/tex]

[tex]x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2}[/tex]
[tex]x_2 = \frac{2 - 4}{2}[/tex]
[tex]x_2 = \frac{-2}{2}[/tex]
[tex]x_2 = -1[/tex]

Sabendo as raízes podemos reescrever a expressão assim:

[tex]x^2 - 2x - 3 = (x - x_1)(x - x_2) = (x - 3)(x + 1)[/tex]

Voltando a inequação, temos:

[tex]\frac{x^2 - 2x - 3}{x - 2} \leq 0[/tex]

[tex]\frac{(x - 3)(x + 1)}{x - 2} \leq 0[/tex]

Como não podemos simplificar fazemos:

[tex](x - 3)(x + 1) \leq 0[/tex]

Como esta expressão do segundo grau tem o coeficiente do termo [tex]x^2 \geq 0[/tex], então a parábola é voltada para cima, ficando os valores negativos entre os valores das raízes encontradas, assim:

[tex]-1 \leq x \leq 3[/tex]

Não esquecendo a restrição calculada acima:

[tex]x \neq 2[/tex]

Então o conjunto solução é {x pertencente aos Reais tal que [tex]-1 \leq x \leq 3[/tex] e [tex]x \neq 2[/tex]}

Resposta:

[-1;2) ou [3;+infinito)

Explicação passo-a-passo:

Para resolver usarei a "Regra do varal". Esta regra consiste em utilizar as regras de sinais da multiplicação e da divisão nas inequações produto ou quociente.

Primeiro encontre as raízes das inequações:

x² -2x -3 ---- raízes -1 e +3

x -2 --- raiz +2

Depois coloque-as em ordem no varal abaixo e aplique as regras de sinais.

Perceba que a inequação x-2 não pode obter valor igual a zero, pois está no divisor e NÃO EXISTE divisão por zero, logo x não pode ser igual a 2.

Sendo assim, os trechos da inequação menores ou iguais a zero são

[-1;2) ou [3;+infinito)

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