SISTEMAS LINEARES
Resolução por Escalonamento
Vamos escalonar este sistema, para assim, obtermos um sistema com apenas duas incógnitas:
| 7x+3y-z=10 I primeiro, vamos trocar a equação I, pela equação II:
| x-2y+z= -7 II
| y+z=2 III
x-2y+z= -7------ agora vamos multiplicar os termos da primeira equação
7x+3y-z = 10 | por (-7) e somar com as duas outras e repetir a equação I:
y+z=2 | |
| |________-7x+14y-7z=49 Aqui
|_________+ 7x + 3y-z = 10
----------------------
0 + 17y-8z=59 isso aqui vai no lugar da equação II
agora vamos fazer o mesmo procedimento com a equação III:
14y-7z = 49
+ y+z = 2
------------------
15y-6z= 51 esta equação vai ficar no lugar
da equação III
Agora, vamos ver como ficou o sistema, juntando os resultados, veja:
x-2y+z= -7
|17y-8z=59 observe que agora temos um sistema com duas
|15y-6z=51 variáveis, é só resolver este sistema pelo método da
substituição:
|17y-8z=59 I isolando y em função de z, temos: [tex]y= \frac{59+8z}{17} [/tex]
|15y-6z=51 II
Agora vamos substituir y na equação II:
[tex]15( \frac{59+8z}{17})-6z=51 [/tex]
[tex]15(59+8z)-102z=867[/tex]
[tex]885+12z-102z=867[/tex]
[tex]120z-102z=867-885[/tex]
[tex]18z=-18[/tex]
[tex]z= \frac{-18}{18} [/tex]
[tex]z=-1[/tex]
Bom, já descobrimos z, agora vamos descobrir y, para isto, basta substituirmos naquela 3a equação láaa em cima:
y+z=2 ==> y+(-1)=2 ==> y-1=2 ==> y=2+1 ==> y=3
Agora tá facinho, pra garantir, vamos pegar a equação I lá em cima, a que tem 3 incógnitas, e substituímos os valores de y e z :
x-2y+z= -7 ==> x-2*3+(-1)= -7 ==> x-6-1= -7 ==> x-7= -7 ==> x= -7+7 ==> x=0
Pronto, o sistema está resoluto, basta pormos a solução:
Solução: x,y,z {(0, 3, -1)}
