P.A:
Sabendo que [tex]a_{2} + a_{5} = 50[/tex] e que [tex]r = a_{1} - 4[/tex], calcule a soma dos cinco primeiros termos dessa P.A.
Sabemos que [tex]a_{2} = a_{1} + r[/tex] e [tex]a_{5} = a_{1} + 4r[/tex]
[tex]a_{2} + a_{5} = 50[/tex]
[tex]a_{1} + r + a_{1} + 4r = 50[/tex]
[tex]2a_{1} + 5r = 50[/tex]
Como [tex]r = a_{1} - 4[/tex]:
[tex]2a_{1} + 5r = 50[/tex]
[tex]2a_{1} + 5(a_{1} - 4)= 50[/tex]
[tex]2a_{1} + 5a_{1} - 20 = 50[/tex]
[tex]7a_{1} = 50 + 20[/tex]
[tex]7a_{1} = 70[/tex]
[tex]a_{1} = 70/7[/tex]
[tex]a_{1} = 10[/tex]
[tex]r = a_{1} - 4[/tex]
[tex]r = 10 - 4[/tex]
[tex]r = 6[/tex]
[tex]a_{5} = a_{1} + 4r[/tex]
[tex]a_{5} = 10 + 4*6[/tex]
[tex]a_{5} = 10 + 24[/tex]
[tex]a_{5} = 34[/tex]
[tex]S_{n} = (a_{1} + a_{n}) * n / 2[/tex]
[tex]S_{5} = (a_{1} + a_{5}) * 5 / 2[/tex]
[tex]S_{5} = (10 + 34) * 5 / 2[/tex]
[tex]S_{5} = 44 * 5 / 2[/tex]
[tex]S_{5} = 22* 5[/tex]
[tex]S_{5} = 110[/tex]
__________________________
P.G:
Três números naturais estão em progressão geométrica, de modo que a soma dos inversos dos 2 primeiros é 1 / 3 e a razão entre o primeiro e o terceiro é 1 / 9. Calcule os 3 números.
Números: [tex]a_{1}, a_{2}, a_{3}[/tex]
A soma dos inversos dos 2 primeiros é 1 / 3:
[tex] \frac{1}{a_{1}}+ \frac{1}{a_{2}} = \frac{1}{3} [/tex]
Somando as frações:
[tex] \frac{a_{1} + a_{2}}{a_{1}*a_{2}} = \frac{1}{3} [/tex]
Como [tex]a_{2} = a_{1}*q[/tex]
[tex] \frac{a_{1} + a_{1}*q}{a_{1}*(a_{1}*q)} = \frac{1}{3} [/tex]
Colocando [tex]a_{1}[/tex] em evidência no numerador:
[tex] \frac{a_{1}(1 + q)}{a_{1}(a_{1}*q)} = \frac{1}{3} [/tex]
Cortando:
[tex] \frac{1 + q}{a_{1}*q} = \frac{1}{3}[/tex]
Agora vamos desenvolver a outra equação.
Como a razão entre o primeiro e o terceiro é 1 / 9:
[tex] \frac{a_{1}}{a_{3}} = \frac{1}{9} [/tex]
[tex] \frac{a_{1}}{a_{1}*q^{2}} = \frac{1}{9} [/tex]
Cortando [tex]a_{1}[/tex]:
[tex] \frac{1}{q^{2}} = \frac{1}{9} [/tex]
Multiplicando em cruz:
[tex]q^{2} = 9[/tex]
[tex]q = +- \sqrt{9} [/tex]
[tex]q = +- 3[/tex]
Como os 3 números são naturais, a razão não pode ser negativa
[tex]q = 3[/tex]
Voltando a primeira equação:
[tex] \frac{1 + q}{a_{1}*q} = \frac{1}{3}[/tex]
[tex] \frac{1 + 3}{a_{1}*3} = \frac{1}{3}[/tex]
[tex] \frac{4}{a_{1}*3} = \frac{1}{3}[/tex]
Cortando 3 com 3:
[tex] \frac{4}{a_{1}} = 1 [/tex]
Multiplicando em cruz:
[tex]a_{1} = 4[/tex]
[tex]a_{1} = 4[/tex]
[tex]a_{2} = a_{1}*q = 4*3 = 12[/tex]
[tex]a_{3} = a_{2}*q = 12*3 = 36[/tex]
Números: 4,12 e 36
