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Sagot :
Propriedade do produto do logaritmo:
Se encontrarmos um logaritmo do tipo: loga(x * y) devemos resolvê-lo, somando o logaritmo de x na base a e o logaritmo de y na base a.
loga (x * y) = loga x + loga y
Exemplo:
log2(32 * 16) = log232 + log216 = 5 + 4 = 9
Propriedades do quociente do logaritmo:
Caso o logaritmo seja do tipo logax/y, devemos resolvê-lo subtraindo o logaritmo do numerador na base a pelo logaritmo do denominador também na base a.
logax/y = logax – logay
Exemplo:
log5(625/125) = log5625 – log5125 = 4 – 3 = 1
Propriedade da potência do logaritmo:
Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima passagem esse expoente irá multiplicar o resultado desse logaritmo, veja como:
logaxm = m*logax
Exemplo:
log3812 = 2*log381 = 2 * 4 = 8
Espero que tenha ajudado!
Se encontrarmos um logaritmo do tipo: loga(x * y) devemos resolvê-lo, somando o logaritmo de x na base a e o logaritmo de y na base a.
loga (x * y) = loga x + loga y
Exemplo:
log2(32 * 16) = log232 + log216 = 5 + 4 = 9
Propriedades do quociente do logaritmo:
Caso o logaritmo seja do tipo logax/y, devemos resolvê-lo subtraindo o logaritmo do numerador na base a pelo logaritmo do denominador também na base a.
logax/y = logax – logay
Exemplo:
log5(625/125) = log5625 – log5125 = 4 – 3 = 1
Propriedade da potência do logaritmo:
Quando um logaritmo estiver elevado a um expoente, na próxima passagem esse expoente irá multiplicar o resultado desse logaritmo, veja como:
logaxm = m*logax
Exemplo:
log3812 = 2*log381 = 2 * 4 = 8
Espero que tenha ajudado!
Vamos relembrar a definição, as propriedades P 1, P 2 e P 3 e a Propriedade de mudança de base de logaritmos, vamos lá
Definição:
[tex]Log _{a}b=c [/tex]
chama-se Log de c, na base a, é igual a b
onde:
a é a base
c é o logaritmo
b é o logaritmando
Determine x nos casos abaixo:
a) [tex]Log\left _{0,25}16 [/tex] =x
pelas propriedades da potenciação, sabemos que,
0,25= [tex] \frac{1}{4}= \frac{1}{2 ^2} }=2 ^{-2} [/tex] e que 16 = [tex]2 ^{4} [/tex]
==> [tex]2 ^{-2(x)}=2 ^{4} [/tex] ==> note que temos aqui uma equação exponencial,
e como temos bases iguais, eliminamos as bases e conservamos os expoentes:
[tex]2 ^{-2x}=2 ^{4} [/tex] ==> [tex]-2 x^{}=4 [/tex] ==> [tex] x= \frac{4}{-2} [/tex]
[tex] x=-2[/tex]
b) [tex]Log\left _{ \sqrt{5} } \frac{1}{625}=x[/tex] aplicando as propriedades de expoente racional e as mesmas propriedades já aplicadas :
[tex]Log _{ \sqrt{5} } \frac{1}{625}=x [/tex] ==> [tex] \sqrt{5} ^{x}= \frac{1}{625} [/tex]
<===> [tex] \sqrt[2]{5 ^{1} } ^{(x)}= \frac{1}{5 ^{4} }=5 ^{ \frac{1}{2}x }=5 ^{-4} [/tex]
eliminando as bases e conservando os expoentes:
[tex] \frac{1}{2}x=-4 [/tex] ==> [tex]x= \frac{-4}{ \frac{1}{2} } [/tex] ==>
[tex] x=-8 [/tex]
c) [tex]Log _{x}49=2[/tex] ==> [tex] x^{2} =49[/tex] ==> [tex]x= \sqrt[2]{7 ^{2} } [/tex]
==> [tex]x=7 ^{ \frac{2}{2} } [/tex] ==> [tex]x= \frac{+}{} 7[/tex] como, pela condição
de existência, a base deve ser maior que 1 e diferente de zero, [tex]x=7[/tex]
d) [tex]Log\left _{2}0,5=x+1 [/tex] ==> [tex]2 ^{x+1}= \frac{1}{2} [/tex]
<==> [tex]2 ^{x+1}=2 ^{-1} [/tex] eliminando as bases e conservando os expoentes
[tex]x+1=-1[/tex] ==> [tex]x=-2[/tex]
Propriedades decorrentes da definição:
D 1 [tex]Log _{a}1[/tex] ==> [tex]Log _{a}1=0 [/tex] ==> [tex]a ^{0}=1 [/tex]
D 2 [tex]Log _{b}b [/tex] ==> [tex]Log _{b}b=1 [/tex] ==> [tex]b ^{1}=b [/tex]
a) [tex]Log _{25}1 [/tex] = [tex]25 ^{0}=1 [/tex]
b) [tex]Log _{4}4 [/tex] ==> [tex]Log _{4}4=1 [/tex] ==> [tex]4 ^{1}=4 [/tex]
Propriedades Operatórias
P 1 Logaritmo do Produto:
[tex]Log \left a*b=Log\left a+Log\left b [/tex]
P 2 Logaritmo do Quociente:
[tex]Log\left \frac{a}{b}=Log\left a-Log \left b [/tex]
P 3 Logaritmo de Potência:
[tex]Log \left b ^{a}=a*Log\left b=a*b [/tex]
Dados Log2=0,301; Log3=0,477; Log5=0,699 e Log7=0,8451
a) Calcule Log6
Resolução:
sabemos que a forma fatorada de 6 é 2*3, então:
[tex]Log6=Log2*3=Log2*Log3[/tex] aplicando a 1a propriedade, Logaritmo do produto:
<===> [tex]Log2*Log3[/tex] ==> [tex]Log2+Log3[/tex] substituindo os valores de log dados
acima, temos: 0,301+0,477 ==> [tex]Log6=0,778[/tex]
b) Calcule Log0,6
sabemos que 0,6 é o mesmo que [tex] \frac{3}{5} [/tex] ,então o logaritmo ficará assim:
[tex]Log \frac{3}{5} [/tex] aplicando a P 2, temos:
[tex]Log \frac{3}{5}=Log3-Log5 [/tex] substituindo os valores de log:
<===> 0,477-0,699 ==> [tex]Log0,6= -0,222[/tex]
c) Calcule Log240
fatorando o 240, obtemos [tex]2 ^{4}*3*5 [/tex], então o log ficará assim:
[tex]Log2 ^{4}*3*5=Log2 ^{4}*Log3*Log5=Log2 ^{4}+Log3+Log5 [/tex]
note que aplicamos a P 1, agora vamos aplicar a P 3, e o log ficará assim:
[tex]Log2 ^{4}+Log3+Log5=4Log2+Log3+Log5 [/tex]
substituindo os valores de log dados acima, temos:
4*0,301+0,477+0,699 ==> [tex]Log240=1,204+1,176[/tex] ==> [tex]Log240=2,38[/tex]
Propriedade de Mudança de Base
Os logaritmos estudados até agora encontravam-se na base 10, (porque quando os logaritmos estão na base 10, esta base é omitida), agora vamos precisar mudar a base do logaritmo dado para facilitar os cálculos dos logaritmos, e é dada pela seguinte propriedade:
[tex]Log\left _{b}a= \frac{Log\left a}{Log\left b} [/tex]
Dada esta propriedade, determine [tex]Log _{2,3} \sqrt[3]{16} [/tex]
sabemos que 2,3 é o mesmo que [tex] \frac{7}{3} [/tex] então o log ficará assim:
[tex]Log _{ \frac{7}{3} } \sqrt[3]{16} [/tex] aplicando a mudança de base:
[tex]Log _{ \frac{7}{3} } \sqrt[3]{16}= \frac{Log \sqrt[3]{16} }{Log \frac{7}{3} } [/tex]
transformando a raiz cúbica de 16 em expoente racional, temos:
[tex] \sqrt[3]{16}= \sqrt[3]{2 ^{4} }=2 ^{ \frac{3}{4} } [/tex] então o Log ficará assim:
[tex] \frac{Log2 ^{ \frac{3}{4} } }{Log \frac{7}{3} } [/tex] aplicando a P 2 e a P 3
[tex] \frac{Log2 ^{ \frac{3}{4} } }{Log \frac{7}{3} }= \frac{ \frac{3}{4}Log2 }{Log7-Log3} [/tex]
como os logaritmos, agora encontram-se na base 10, é só substituir os valores de log
[tex] \frac{ \frac{3}{4}Log2 }{Log7-Log3}= \frac{ \frac{3}{4}*0,301 }{0,8451-0,477} [/tex]
<===> [tex] \frac{0,2257}{0,3681}= 0,6131[/tex]
espero ter ajudado :D
Definição:
[tex]Log _{a}b=c [/tex]
chama-se Log de c, na base a, é igual a b
onde:
a é a base
c é o logaritmo
b é o logaritmando
Determine x nos casos abaixo:
a) [tex]Log\left _{0,25}16 [/tex] =x
pelas propriedades da potenciação, sabemos que,
0,25= [tex] \frac{1}{4}= \frac{1}{2 ^2} }=2 ^{-2} [/tex] e que 16 = [tex]2 ^{4} [/tex]
==> [tex]2 ^{-2(x)}=2 ^{4} [/tex] ==> note que temos aqui uma equação exponencial,
e como temos bases iguais, eliminamos as bases e conservamos os expoentes:
[tex]2 ^{-2x}=2 ^{4} [/tex] ==> [tex]-2 x^{}=4 [/tex] ==> [tex] x= \frac{4}{-2} [/tex]
[tex] x=-2[/tex]
b) [tex]Log\left _{ \sqrt{5} } \frac{1}{625}=x[/tex] aplicando as propriedades de expoente racional e as mesmas propriedades já aplicadas :
[tex]Log _{ \sqrt{5} } \frac{1}{625}=x [/tex] ==> [tex] \sqrt{5} ^{x}= \frac{1}{625} [/tex]
<===> [tex] \sqrt[2]{5 ^{1} } ^{(x)}= \frac{1}{5 ^{4} }=5 ^{ \frac{1}{2}x }=5 ^{-4} [/tex]
eliminando as bases e conservando os expoentes:
[tex] \frac{1}{2}x=-4 [/tex] ==> [tex]x= \frac{-4}{ \frac{1}{2} } [/tex] ==>
[tex] x=-8 [/tex]
c) [tex]Log _{x}49=2[/tex] ==> [tex] x^{2} =49[/tex] ==> [tex]x= \sqrt[2]{7 ^{2} } [/tex]
==> [tex]x=7 ^{ \frac{2}{2} } [/tex] ==> [tex]x= \frac{+}{} 7[/tex] como, pela condição
de existência, a base deve ser maior que 1 e diferente de zero, [tex]x=7[/tex]
d) [tex]Log\left _{2}0,5=x+1 [/tex] ==> [tex]2 ^{x+1}= \frac{1}{2} [/tex]
<==> [tex]2 ^{x+1}=2 ^{-1} [/tex] eliminando as bases e conservando os expoentes
[tex]x+1=-1[/tex] ==> [tex]x=-2[/tex]
Propriedades decorrentes da definição:
D 1 [tex]Log _{a}1[/tex] ==> [tex]Log _{a}1=0 [/tex] ==> [tex]a ^{0}=1 [/tex]
D 2 [tex]Log _{b}b [/tex] ==> [tex]Log _{b}b=1 [/tex] ==> [tex]b ^{1}=b [/tex]
a) [tex]Log _{25}1 [/tex] = [tex]25 ^{0}=1 [/tex]
b) [tex]Log _{4}4 [/tex] ==> [tex]Log _{4}4=1 [/tex] ==> [tex]4 ^{1}=4 [/tex]
Propriedades Operatórias
P 1 Logaritmo do Produto:
[tex]Log \left a*b=Log\left a+Log\left b [/tex]
P 2 Logaritmo do Quociente:
[tex]Log\left \frac{a}{b}=Log\left a-Log \left b [/tex]
P 3 Logaritmo de Potência:
[tex]Log \left b ^{a}=a*Log\left b=a*b [/tex]
Dados Log2=0,301; Log3=0,477; Log5=0,699 e Log7=0,8451
a) Calcule Log6
Resolução:
sabemos que a forma fatorada de 6 é 2*3, então:
[tex]Log6=Log2*3=Log2*Log3[/tex] aplicando a 1a propriedade, Logaritmo do produto:
<===> [tex]Log2*Log3[/tex] ==> [tex]Log2+Log3[/tex] substituindo os valores de log dados
acima, temos: 0,301+0,477 ==> [tex]Log6=0,778[/tex]
b) Calcule Log0,6
sabemos que 0,6 é o mesmo que [tex] \frac{3}{5} [/tex] ,então o logaritmo ficará assim:
[tex]Log \frac{3}{5} [/tex] aplicando a P 2, temos:
[tex]Log \frac{3}{5}=Log3-Log5 [/tex] substituindo os valores de log:
<===> 0,477-0,699 ==> [tex]Log0,6= -0,222[/tex]
c) Calcule Log240
fatorando o 240, obtemos [tex]2 ^{4}*3*5 [/tex], então o log ficará assim:
[tex]Log2 ^{4}*3*5=Log2 ^{4}*Log3*Log5=Log2 ^{4}+Log3+Log5 [/tex]
note que aplicamos a P 1, agora vamos aplicar a P 3, e o log ficará assim:
[tex]Log2 ^{4}+Log3+Log5=4Log2+Log3+Log5 [/tex]
substituindo os valores de log dados acima, temos:
4*0,301+0,477+0,699 ==> [tex]Log240=1,204+1,176[/tex] ==> [tex]Log240=2,38[/tex]
Propriedade de Mudança de Base
Os logaritmos estudados até agora encontravam-se na base 10, (porque quando os logaritmos estão na base 10, esta base é omitida), agora vamos precisar mudar a base do logaritmo dado para facilitar os cálculos dos logaritmos, e é dada pela seguinte propriedade:
[tex]Log\left _{b}a= \frac{Log\left a}{Log\left b} [/tex]
Dada esta propriedade, determine [tex]Log _{2,3} \sqrt[3]{16} [/tex]
sabemos que 2,3 é o mesmo que [tex] \frac{7}{3} [/tex] então o log ficará assim:
[tex]Log _{ \frac{7}{3} } \sqrt[3]{16} [/tex] aplicando a mudança de base:
[tex]Log _{ \frac{7}{3} } \sqrt[3]{16}= \frac{Log \sqrt[3]{16} }{Log \frac{7}{3} } [/tex]
transformando a raiz cúbica de 16 em expoente racional, temos:
[tex] \sqrt[3]{16}= \sqrt[3]{2 ^{4} }=2 ^{ \frac{3}{4} } [/tex] então o Log ficará assim:
[tex] \frac{Log2 ^{ \frac{3}{4} } }{Log \frac{7}{3} } [/tex] aplicando a P 2 e a P 3
[tex] \frac{Log2 ^{ \frac{3}{4} } }{Log \frac{7}{3} }= \frac{ \frac{3}{4}Log2 }{Log7-Log3} [/tex]
como os logaritmos, agora encontram-se na base 10, é só substituir os valores de log
[tex] \frac{ \frac{3}{4}Log2 }{Log7-Log3}= \frac{ \frac{3}{4}*0,301 }{0,8451-0,477} [/tex]
<===> [tex] \frac{0,2257}{0,3681}= 0,6131[/tex]
espero ter ajudado :D
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