As coordenadas do ponto P são P = (1/2,7/2).
Se o ponto P = (x,y) é equidistante aos pontos M = (3,6), N = (4,3) e O = (0,0), então as distâncias entre os pontos P e M, P e N, P e O são iguais.
Sendo A = (xa,ya) e B = (xb,yb), a distância entre os pontos A e B é definida pela fórmula:
- d² = (xb - xa)² + (yb - ya)².
Distância entre P e M
d² = (x - 3)² + (y - 6)².
Distância entre P e N
d² = (x - 4)² + (y - 3)².
Distância entre P e O
d² = x² + y².
Então, é válido dizer que:
x² + y² = (x - 3)² + (y - 6)²
x² + y² = x² - 6x + 9 + y² - 12y + 36
-6x - 12y + 45 = 0
6x + 12y = 45
2x + 4y = 15.
Além disso:
x² + y² = (x - 4)² + (y - 3)²
x² + y² = x² - 8x + 16 + y² - 6y + 9
-8x - 6y + 25 = 0
8x + 6y = 25.
Com as duas equações obtidas, podemos montar o sistema linear:
{2x + 4y = 15
{8x + 6y = 25
Multiplicando a primeira equação por 6 e a segunda equação por -4:
{12x + 24y = 90
{-32x - 24y = -100
Somando as equações:
-20x = -10
x = 1/2.
Consequentemente:
2.1/2 + 4y = 15
1 + 4y = 15
4y = 14
y = 7/2.
Portanto, o ponto P é P = (1/2,7/2).
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