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Encontre a equação da reta tangente à curva f(x)=[tex]\frac{2x}{x^2+3}[/tex] no ponto [tex]x_{0}[/tex]=2

Sagot :

MATHSPHIS
Trata-se de calcular a derivada da função f(x) e depois calcular o valor da derivada para x=xo=2

Usaremos a regra da divisão de funções:

[tex]\left (\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} \\ \\ f'(x)=\frac{2(x^2+3)-2x(2x)}{(x^2+3)^2}=\frac{2x^2+6-4x^2}{(x^2+3)^2}=\frac{6-2x^2}{(x^2+3)^2} \\ \\ x_0=2 \\ \\ \boxed{f'(2)=\frac{6-2.2^2}{(2^2+3)^2}=\frac{6-8}{49}=-\frac{2}{49}}[/tex]

Sabendo que a reta passa pelo ponto xo=2 então pela função:
[tex]y=\frac{2x}{x^2+3}=\frac{4}{7}[/tex]

A equação da reta tangente é:

[tex]y-\frac{4}{7}=-\frac{2}{49}(x-2) \\ \\ 49y-28=2x-4 \\ \\ \boxed{2x-49y+24=0}[/tex]
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