Olá.
O perímetro do triângulo pode ser obtido através da soma dos lados AB, AC e BC. Como não conhecemos quanto mede cada lado, para descobrir podemos usar a fórmula para o cálculo da distância entre dois pontos, que é uma variação do Teorema de Pitágoras. Segue a fórmula:
[tex]\mathsf{dAB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}}[/tex]
Onde x e y são coordenadas expressas como (x, y).
Vamos aos cálculos de cada caso.
Distância entre os pontos A(1,0) e B(3,7).
[tex]\mathsf{dAB=\sqrt{\left(x_B-x_A\right)^2+\left(y_B-y_A\right)^2}}\\\\ \mathsf{dAB=\sqrt{\left(3-1\right)^2+\left(7-0\right)^2}}\\\\ \mathsf{dAB=\sqrt{\left(2\right)^2+\left(7\right)^2}}\\\\ \mathsf{dAB=\sqrt{4+49}}\\\\ \mathsf{dAB=\sqrt{53}}[/tex]
Distância entre os pontos A(1,0) e C(-2,4).
[tex]\mathsf{dAC=\sqrt{\left(x_C-x_A\right)^2+\left(y_C-y_A\right)^2}}\\\\ \mathsf{dAC=\sqrt{\left(-2-1\right)^2+\left(4-0\right)^2}}\\\\ \mathsf{dAC=\sqrt{\left(-3\right)^2+\left(4\right)^2}}\\\\ \mathsf{dAC=\sqrt{9+16}}\\\\ \mathsf{dAC=\sqrt{25}}\\\\ \mathsf{dAC=5}[/tex]
Distância entre os pontos B(3,7) e C(-2,4).
[tex]\mathsf{dBC=\sqrt{\left(x_C-x_B\right)^2+\left(y_C-y_B\right)^2}}\\\\ \mathsf{dBC=\sqrt{\left(-2-3\right)^2+\left(4-7\right)^2}}\\\\ \mathsf{dBC=\sqrt{\left(-5\right)^2+\left(-3\right)^2}}\\\\ \mathsf{dBC=\sqrt{25+9}}\\\\ \mathsf{dBC=\sqrt{34}}[/tex]
Calculando o perímetro.
Tendo o valor dos lados, basta somarmos. Teremos:
[tex]\mathsf{P=AB+AC+BC}\\\\ \mathsf{P=\sqrt{53}+5+\sqrt{34}}[/tex]
Para dar um valor aproximado, adoto raiz de 53 como 7,28 e raiz de 34 como 5,83. Teremos:
[tex]\mathsf{P=\sqrt{53}+5+\sqrt{34}}\\\\ \mathsf{P=7,28+5+5,83}\\\\ \mathsf{P=12,28+5,83}\\\\ \mathsf{P=18,11}[/tex]
Em anexo adicionei uma representação gráfica do triângulo.
Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.
Bons estudos[tex].[/tex]
