Lembrando que uma equação de segundo grau tem o formato
[tex]ax^2+bx+c=0[/tex]
Podemos montar um sistema, substituindo por exemplo em P(0)=1, todos os x serão trocados por zero e no final, a equação inteira será igualada a 1. E assim por diante com os outros casos.
[tex]P(0)=a(0)^2+b.0+c=2\rightarrow c=2[/tex]
[tex]P(1)=a.1^2+b.1+c=3\rightarrow a+b+c=3[/tex]
[tex]P(2)=a.2^2+2b+c=8\rightarrow 4a+2b+c=8[/tex]
Agora podemos substituir o c nas outras equações, e além disso,pegar a segunda, que ficou a+b=1 e isolar o b. Agora ficamos com b=1-a e substituímos isso na terceira equação.
[tex]4a+2(1-a)=6\rightarrow a=2[/tex]
[tex]b=1-a\rightarrow b=1-2\rightarrow b=-1[/tex]
Portanto, o polinômio é
[tex]P(x)=2x^2-x+2[/tex]
b)
[tex]P(x)\equiv Q(x)[/tex]
[tex](a^2-4)x^3+2x+6=5x^3(a-3)x^2+(a-b)x+6[/tex]
Agora é só igualar os coeficientes de um aos do outro: os do x a terceira de um lado,com os x a terceira do outro... e assim vai. Fazendo isso, temos que:
[tex]a^2-4=5\rightarrow a=\pm3[/tex]
[tex]a-3=0\rightarrow a=3[/tex]
(isso invalida a resposta a=-3 obtida na linha anterior)
[tex]a-b=2\rightarrow b=1
[/tex]
