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Sagot :
Para resolver isso, você precisa de saber:
[tex]\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)[/tex]
Temos:
[tex]\sin(\frac{\pi}{6}-x)[/tex]
Vamos usar:
[tex]a=\frac{\pi}{6}[/tex]
[tex]b=-x[/tex]
[tex]\sin(\frac{\pi}{6}-x)=\sin(\frac{\pi}{6})\cos(-x)+\sin(-x)\cos(\frac{\pi}{6})[/tex]
Sabemos que [tex]\frac{\pi}{6}rad=30^{o}[/tex] e [tex]\sin(30^{o})=\frac{1}{2}[/tex] e [tex]\cos(30^{o})=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]. Portanto:
[tex]\sin(\frac{\pi}{6}-x)=\frac{1}{2}\cos(-x)+\sin(-x)\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Note que [tex]\sin(-x)=-\sin(x)[/tex] e [tex]\cos(-x)=\cos(x)[/tex]. Portanto,
[tex]\sin(\frac{\pi}{6}-x)=\frac{1}{2}\cos(x)-\sin(x)\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]\sin(\frac{\pi}{6}-x)=\frac{1}{2}\cos(x)-\frac{1}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Agora, só falta encontrarmos o valor de [tex]\cos(x)[/tex].
Como
[tex]\sin(a)^2+\cos(a)^2=1[/tex]
Então:
[tex]\sin(x)^2+\cos(x)^2=1[/tex]
[tex](\frac{1}{3})^2+\cos(x)^2=1[/tex]
[tex]\cos(x)^2=1-\frac{1}{9}[/tex]
[tex]\cos(x)=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{\sqrt{8}}{3}[/tex]
Voltando agora:
[tex]\sin(\frac{\pi}{6}-x)=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{8}}{3}-\frac{1}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]\sin(\frac{\pi}{6}-x)=\frac{\sqrt{8}}{6}-\frac{\sqrt{3}}{6}[/tex]
[tex]\sin(\frac{\pi}{6}-x)=\frac{\sqrt{8}-\sqrt{3}}{6}[/tex]
[tex]\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)[/tex]
Temos:
[tex]\sin(\frac{\pi}{6}-x)[/tex]
Vamos usar:
[tex]a=\frac{\pi}{6}[/tex]
[tex]b=-x[/tex]
[tex]\sin(\frac{\pi}{6}-x)=\sin(\frac{\pi}{6})\cos(-x)+\sin(-x)\cos(\frac{\pi}{6})[/tex]
Sabemos que [tex]\frac{\pi}{6}rad=30^{o}[/tex] e [tex]\sin(30^{o})=\frac{1}{2}[/tex] e [tex]\cos(30^{o})=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]. Portanto:
[tex]\sin(\frac{\pi}{6}-x)=\frac{1}{2}\cos(-x)+\sin(-x)\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Note que [tex]\sin(-x)=-\sin(x)[/tex] e [tex]\cos(-x)=\cos(x)[/tex]. Portanto,
[tex]\sin(\frac{\pi}{6}-x)=\frac{1}{2}\cos(x)-\sin(x)\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]\sin(\frac{\pi}{6}-x)=\frac{1}{2}\cos(x)-\frac{1}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
Agora, só falta encontrarmos o valor de [tex]\cos(x)[/tex].
Como
[tex]\sin(a)^2+\cos(a)^2=1[/tex]
Então:
[tex]\sin(x)^2+\cos(x)^2=1[/tex]
[tex](\frac{1}{3})^2+\cos(x)^2=1[/tex]
[tex]\cos(x)^2=1-\frac{1}{9}[/tex]
[tex]\cos(x)=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{\sqrt{8}}{3}[/tex]
Voltando agora:
[tex]\sin(\frac{\pi}{6}-x)=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{8}}{3}-\frac{1}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
[tex]\sin(\frac{\pi}{6}-x)=\frac{\sqrt{8}}{6}-\frac{\sqrt{3}}{6}[/tex]
[tex]\sin(\frac{\pi}{6}-x)=\frac{\sqrt{8}-\sqrt{3}}{6}[/tex]
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