Fatorar é transformar equações algébricas em produtos de duas ou mais expressões, chamadas fatores.
Ex: ax + ay = a.(x+y)
Existem vários casos de fatoração como:
1) Fator Comum em evidência
Quando os termos apresentam fatores comuns
Observe o polinômio:
ax + ay » Ambos os termos apresentam o fator a em evidência.
Assim: ax + ay = a.(x+y)
Forma fatorada
Exs : Fatore:
a) bx + by - bz = b.(x+y-z)
b) 2x2 - 4xy = 2x.(x - 2y)
c) 12ax2z + 24axz2 - 12a2xz = 12axz.(x + 2z - a)
d) (a+b)x + (a+b)y = (a+b).(x+y)
e) x3 + 2x2 - x = x.(x2 + 2x - 1)
2) Fatoração por agrupamento
Consiste em aplicar duas vezes o caso do fator comum em alguns polinômios especiais.
Como por exemplo:
ax + ay + bx + by
Os dois primeiros termos possuem em comum o fator a , os dois últimos termos possuem em comum o fator b. Colocando esses termos em evidência:
a.(x+y) + b.(x+y)
Este novo polinômio possui o termo (x+y) em comum. Assim colocando-o em evidência:
(x+y).(a+b)
Ou seja: ax + ay + bx + by = (x+y).(a+b)
Exs: Fatore:
a) x2 - 3x + ax - 3a = x.(x - 3) + a(x - 3) = (x - 3).(x + a)
x é fator a é fator (x-3) é fator comum Forma fatorada
comum comum
b) 2b2 + ab2 + 2c3 + ac3 = b2(2 + a) + c3(2 + a) = (2 + a).(b2 + c3)
b2 é fator c3 é fator (2+a) é fator comum Forma fatorada
comum comum
3) Fatoração por diferença de quadrados:
Consiste em transformar as expressões em produtos da soma pela diferença, simplesmente extraindo a raiz quadrada de cada quadrado
Assim: x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)
Exs: Fatore:
a) a2 - b2 = (a + b).(a - b)
b) 16a2 - 1 = (4a + 1).(4a - 1)
c) 1 - 16x4 = (1 + 4x2).(1 - 4x2) = (1 + 4x2).(1 + 2x).(1 - 2x)
Note que é possível fatorar a expressão duas vezes
4) Fatoração do trinômio quadrado perfeito:
O trinômio que se obtém quando se eleva um binômio ao quadrado chama-se trinômio quadrado perfeito.
Por exemplo, os trinômios (a2 + 2ab + b2 ) e ( a2 - 2ab + b2 ) são quadrados perfeitos porque são obtidos quando se eleva (a+b) e (a-b) ao quadrado, respectivamente.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Assim: 4x2 - 12xy + 9y2
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2x 3y
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2.2x.3y = 12xy » note que é igual ao segundo termo de 4x2 - 12xy + 9y2
Portanto trata-se de um trinômio quadrado perfeito.
4x2 - 12xy + 9y2 = (2x - 3y)2 » forma fatorada
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Sinal
Logo: 4x2 + 12xy + 9y2 = (2x + 3y)2 » forma fatorada
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Sinal
Exs:
a) x2 - 10x + 25 = (x - 5)2
b) 16x2 + 24xy + 9y2 = (4x + 3y)2
*Convém lembrarmos que ao fatorarmos uma expressão algébrica, devemos fatorá-la por completo:
Exs:
a) 3x2 + 6x + 3 = 3(x2 + 2x + 1) = 3(x + 1)2
b) 25a4 - 100b2 = 25.(a4 - b2) = 25(a2 + b).(a2 - b)
Pronto e so tirar o fator comum de cada produto e torna o resultado de multiplicação adição ou subtração.
