[tex] \lim_{t \to \frac{3}{2}} \sqrt{\frac{8t^{3}-27}{4t^{2}-9}}[/tex]
Para resolver este limite, você precisa de ter conhecimento do seguinte:
[tex]a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b)[/tex]
[tex]a^{3}+b^{3} = (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})[/tex]
É bom você gastar tempo chegando nesses valores (acima) e depois memorizando-os, pois são ótimas ferramentas para resolver limites.
Vamos agora resolver:
[tex] \lim_{t \to \frac{3}{2}} \sqrt{\frac{8t^{3}-27}{4t^{2}-9}}[/tex]
[tex] \lim_{t \to \frac{3}{2}} \sqrt{\frac{(2t)^{3}+(-3)^{3}}{(2t)^{2}-3^{2}}}[/tex]
Aplicamos, no numerador:
[tex]a^{3}+b^{3} = (a+b)(a^{2}-ab+b^{2})[/tex]
Onde [tex]a=2t[/tex] e [tex]b=-3[/tex]
[tex] \lim_{t \to \frac{3}{2}} \sqrt{\frac{(2t-3)((2t)^{2}-2t(-3)+(-3)^{2})}{(2t)^{2}-3^{2}}}[/tex]
Aplicamos, no denominador:
[tex]a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b)[/tex]
Onde [tex]a=2t[/tex] e [tex]b=3[/tex]
[tex] \lim_{t \to \frac{3}{2}} \sqrt{\frac{(2t-3)((2t)^{2}-2t(-3)+(-3)^{2})}{(2t+3)(2t-3)}}[/tex]
Cortamos os [tex](2t-3)[/tex],
[tex] \lim_{t \to \frac{3}{2}} \sqrt{\frac{(2t)^{2}-2t(-3)+(-3)^{2}}{2t+3}}[/tex]
[tex] \lim_{t \to \frac{3}{2}} \sqrt{\frac{4t^{2}+6t+9}{2t+3}}[/tex]
[tex] \sqrt{\frac{4(\frac{3}{2})^{2}+6\frac{3}{2}+9}{2*\frac{3}{2}+3}}[/tex]
[tex] \sqrt{\frac{4(\frac{3}{2})^{2}+6\frac{3}{2}+9}{2\frac{3}{2}+3}}[/tex]
[tex] \sqrt{\frac{27}{6}}[/tex]
[tex] \sqrt{\frac{9}{2}}[/tex]
[tex] \frac{3}{\sqrt{2}}[/tex]
