1) Usei muito para resolver as questões abaixo, então é bom você saber disto:
(a²-b²)=(a-b)(a+b)
a) lim x->1 [(x²-1)/(x-1)]
Note que (x²-1)=(x-1)(x+1)
lim x->1 [(x-1)(x+1)/(x-1)]
lim x->1 (x+1)
2
b) lim x->1 [(raiz(x)-1)/(x²-1)]
Note que (x²-1)=(x-1)(x+1)
lim x->1 {(raiz(x)-1)/[(x-1)(x+1)]}
Note que (x-1)=(raiz(x)-1)(raiz(x)+1)
lim x->1 {(raiz(x)-1)/[(raiz(x)-1)(raiz(x)+1)(x+1)]}
lim x->1 {1/[(raiz(x)+1)(x+1)]}
1/4
c) lim x->-1 [(x²-1)/(x-1)]
Como o denominador não é 0, podemos resolver direto:
((-1)²-1)/(-1-1)
(1-1)/(-2)
0
d) lim x->2 [(x²-4)/(x²-2x)]
Note que (x²-4)=(x-2)(x+2)
lim x->2 [(x-2)(x+2)/(x²-2x)]
Agora, ponha o x em evidência embaixo:
lim x->2 {(x-2)(x+2)/[x(x-2)]}
lim x->2 {(x+2)/x}
(2+2)/2
2
2) Para verificar se uma função f(x) é contínua em um ponto c, basta verificar se lim x->c f(x) existe.
Para que o lim x->c f(x) exista, basta que lim x->c+ f(x) = lim x->c- f(x).
Se ainda não aprendeu a diferença entre lim x->c- e lim x->c+, ignore, pois seu professor ainda não espera isso. Nesse caso, apenas aplique diretamente lim x->c f(x).
a) f(x)=(x²-x-2)/(x-2), c=0
lim x->0- (x²-x-2)/(x-2)
Como o denominador não fica negativo, podemos resolver direto:
(0²-0-2)/(0-2)
-2/(-2)
1
lim x->0+ (x²-x-2)/(x-2)
Mesma coisa:
(0²-0-2)/(0-2)
1
Como os dois são iguais, a função é contínua no ponto c=0.
b) f(x)=(x²-x-2)/(x-2), c=2
lim x->2- (x²-x-2)/(x-2)
Note que (x²-x-2)=(x-2)(x+1)
lim x->2- (x-2)(x+1)/(x-2)
lim x->2- (x+1)
3
lim x->2+ (x²-x-2)/(x-2)
lim x->2+ (x-2)(x+1)/(x-2)
lim x->2+ (x+1)
3
São iguais, a função é contínua.
3) O que é a derivada de uma função? A derivada de f(x) é uma função f'(x) que nos dá a variação de f(x) em relação a x para cada ponto de f(x).
É impossível calcular a variação de um ponto, então a ideia na derivada é calcular a variação entre dois pontos, com uma variação entre eles tendendo a 0.
f'(x) = lim h->0 [(f(x+h)-f(x))/(x+h - x)]
f'(x) = lim h->0 [(f(x+h)-f(x))/h]
Note que a diferença entre os valores dos dois pontos é h, que tende a 0. Desta forma, embora não possamos calcular a variação no ponto, temos uma aproximação muito exata.
Vamos resolver f'(x) para uma função do segundo grau:
f(x) = x²
f'(x) = lim h->0 [(f(x+h)-f(x))/h]
f'(x) = lim h->0 {[(x+h)²-x²]/h}
f'(x) = lim h->0 [(x²+2xh+h²-x²)/h]
f'(x) = lim h->0 [(2xh+h²)/h]
Colocamos o h em evidência:
f'(x) = lim h->0 [h(2x+h)/h]
f'(x) = lim h->0 (2x+h)
Como h->0, (2x+h)=2x
Portanto, f'(x)=2x, ou seja, a derivada de x² é 2x.
Se você fizer o mesmo procedimento para x³, obterá que a derivada é 3x². Se fizer para x^4, terá 4x³. E assim por diante...
Com isso, notará que existe um padrão. A derivada de uma função f(x)=x^n é f'(x)=nx^(n-1).
Não vou gastar tempo mostrando para x³, x^4 etc, mas se você quiser pode tentar fazer no papel. Vou resolver diretamente as derivadas.
a) f(x) = x^5
f'(x) = 5x^4 (lembre-se, se f(x)=x^n, então f'(x)=nx^(n-1))
b) f(x) = 5x³
f'(x) = 5 (3x²)
f'(x) = 15x²
c) f(x) = 4x³ + 3x² - x + 5
f'(x) = (4x³ + 3x² - x + 5)'
É interessante saber de uma propriedade das derivadas.
A derivada de (f(x)+g(x)+h(x)+...) = derivada de f(x) + derivada de g(x) + derivada de h(x) + ...
f'(x) = (4x³)' + (3x²)' + (-x)' + 5'
f'(x) = 4(3x²) + 3(2x) + -1 + 0
f'(x) = 12x² + 6x - 1
Se não entendeu por que a derivada de 5 é 0, repare: 5 = 5(x^0); portanto, 5' = 5[0x^(-1)] = 0
A questão 4 não coube aqui, então pus no seguinte link: http://codepad.org/ZRVe5MCd
