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Chamaremos o ângulo de lançamento de [tex]\theta[/tex], a velocidade de [tex]V_{0}[/tex] e a gravidade de [tex]g[/tex].
Decompondo [tex]V_{0}[/tex] em [tex]V_{x_{0}}[/tex] e [tex]V_{y_{0}}[/tex], temos:
[tex]V_{x_{0}} = V_{0} \cos(\theta) [/tex]
[tex]V_{y_{0}} = V_{0} \sin(\theta) [/tex]
Pressupondo que o projétil foi lançado de uma altura zero, o tempo de queda é igual ao tempo de subida, e é dado por:
[tex]t_{Q} = t_{S} = \frac{V_{y_{0}}}{g}[/tex]
Portanto, o tempo total é dado por:
[tex]t = t_{Q} + t_{S} = 2 t_{S} = 2 \frac{V_{y_{0}}}{g}[/tex]
Vamos calcular o alcance, [tex]S_{x}[/tex], do projétil:
[tex]S_{x}=S_{x_{0}}+V_{x_{0}}t + \frac{at^{2}}{2}[/tex]
Como partimos de um ponto inicial [tex]S_{x_{0}} = 0[/tex] e não há nenhuma aceleração influenciando no eixo x, [tex]a = 0[/tex], temos:
[tex]S_{x}=V_{x_{0}}t[/tex]
[tex]S_{x}=V_{x_{0}} * 2 * \frac{V_{y_{0}}}{g}[/tex]
[tex]S_{x}=V_{0}\cos(\theta) * 2 \frac{V_{0}\sin(\theta)}{g}[/tex]
Apenas rearranjando os termos:
[tex]S_{x}=\frac{V_{0}^{2}}{g} * 2 \sin(\theta)\cos(\theta)[/tex]
Lembrando que que [tex]2\sin(\theta)\cos(\theta) = \sin(2\theta)[/tex], temos:
[tex]S_{x}=\frac{V_{0}^{2}}{g} * \sin(2\theta)[/tex]
Como [tex]V_{0}[/tex] e [tex]g[/tex] independem do ângulo, só precisamos analisar o valor de [tex]\sin(2\theta)[/tex].
O valor máximo da função seno acontece quando o ângulo é de 90º. Portanto, para maximizar o alcance [tex]S_{x}[/tex], temos que garantir que:
[tex]2\theta=90º[/tex].
[tex]\theta=45º[/tex]
c.q.d.
