L = lim x->0+ [sqrt(x) * e^sin(pi/x)]
Aplicamos o logaritmo natural dos dois lados:
ln(L) = lim x->0+ ln[sqrt(x) * e^sin(pi/x)]
Propriedade dos logaritmos: log(a*b) = log(a)+log(b),
ln(L) = lim x->0+ {ln[sqrt(x)] + ln[e^sin(pi/x)]}
Propriedade dos logaritmos: logb(b^x)=x,
ln(L) = lim x->0+ {ln[sqrt(x)] + sin(pi/x)}
Propriedade de limites: lim (a+b) = lim a + lim b
ln(L) = lim x->0+ ln[sqrt(x)] + lim x->0+ sin(pi/x)
Sabemos que log(0), para qualquer base, não existe. Porém, lim x->0+ log(x) = -oo, para qualquer base maior do que 1. É fácil de perceber isso, pois se logb(x)=a, e x -> 0, então b^a -> 0; como a base é um número maior do que 1, se multiplicarmos a base por ela mesma, teremos um número maior; no entanto, se dividirmos 1 pela base (logo, a < 0), teremos um número menor; se realizarmos esse processo infinitas vezes, teremos um número cada vez menor, até tender a 0. Concluimos, então, que:
lim x->0+ ln[sqrt(x)] = -oo
Vamos agora tentar analisar o valor de lim x->0+ sin(pi/x). Esse valor é indeterminado no intervalo [-1,1]. Porém, como precisamos calcular:
ln(L) = lim x->0+ ln[sqrt(x)] + lim x->0+ sin(pi/x)
E temos que lim x->0+ ln[sqrt(x)] = -oo, então um valor no intervalo [-1,1] é desprezível. Concluímos que:
ln(L) = lim x->0+ ln[sqrt(x)]
ln(L) = -oo
Como queremos L:
L = e^(-oo)
L = 0
c.q.d.
