Dada a equação x² + y² - 4x + 8y +11 = 0. Verifique se é uma equação de uma circunferência. Se positivo, determine o centro e o raio.
Roosevelt, boa noite.
Para que a equação acima seja uma equação de circunferência, ela deve ter o seguinte formato:
[tex](x - x_c)^2 + (y - y_c)^2 = R^2,\text{ onde: }[/tex]
[tex]\begin{cases} (x_c,y_c):\text{coordenadas do centro da circunfer\^encia}\\R: \text{raio da circunfer\^encia} \end{cases}[/tex]
Vamos procurar reescrever a equação do exercício de forma que ela possa ser agrupada e fatorada em quadrados perfeitos, e igualada a um outro quadrado perfeito, conforme o formato da equação de circunferência:
[tex]x^2-4x+y^2+8y+\underbrace{4+16-9}_{=11}=0 \Rightarrow[/tex]
[tex]x^2-4x+4+y^2+8y+16=9 \Rightarrow[/tex]
[tex](x-2)^2+(y+4)^2=3^2[/tex]
Portanto, a equação do exercício é a equação de uma circunferência de centro em (2,-4) e raio igual a 3.
A equação x² + y² - 4x + 8y + 11 = 0 é de uma circunferência com centro C = (2,-4) e raio 3.
A equação reduzida de uma circunferência é da forma (x - x₀)² + (y - y₀)² = r², sendo C = (x₀,y₀) o centro da circunferência e r a medida do raio.
Vamos escrever a equação x² + y² - 4x + 8y + 11 = 0 na forma descrita acima. Para isso, precisamos completar quadrado. Dito isso, temos que:
x² - 4x + 4 + y² + 8y + 16 = -11 + 4 + 16
(x - 2)² + (y + 4)² = 9.
Observe que a equação (x - 2)² + (y + 4)² = 9 está na forma (x - x₀)² + (y - y₀)² = r². Além disso, a medida r é positiva.
Portanto, podemos afirmar que a equação x² + y² - 4x + 8y + 11 = 0 representa uma circunferência.
Podemos também concluir que o centro da circunferência é o ponto C = (2,-4) e o seu raio é igual a r = 3.
A figura abaixo representa a circunferência encontrada.
Exercício sobre circunferência: https://brainly.com.br/tarefa/19767193
