juniormendes89
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aplicações a derivadas, taxa de variação

A figura abaixo mostra um reservatório cônico de 10m de altura e 4m de raio
contendo água, que escoa a uma vazão de 5m³/hora.
(a) Qual a relação entre as variáveis R e H?
(b) A que taxa o nível da água diminui, quando H = 6m?

Sagot :

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H=10m

R=4m

a)

R/H = 4/10= 2/5

R= 2H/5

b)

[tex]v = \frac{1}{3} \pi {R}^{2} H \\ v = \frac{1}{3}\pi { (\frac{2}{5}H)}^{2} H \\ v = \frac{1}{3}\pi \frac{4}{25}{H}^{2} .H[/tex]

[tex]v = \frac{1}{3}\pi. \frac{4}{25} {H}^{3} [/tex]

[tex] \frac{dv}{dt} = \frac{1}{3}.\pi \frac{4}{25}3.{H}^{2}. \frac{dH }{dt} \\ \frac{dv}{dt} = \frac{4}{25}\pi {H}^{2} .\frac{dH }{dt} [/tex]

dv/dt= 5m³/h

H=6m

dH/dt=?

[tex]5 = \frac{4}{25}\pi. {6}^{2} . \frac{ dH}{dt} \\ \frac{dH}{dt} = \frac{25.5}{144\pi} = \frac{125}{144\pi} m/h[/tex]

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